Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
© e constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo , onde é uma constante e estamos resolvendo em torno de . O que a gente vai fazer é encontrar soluções em séries de potências para essa equação. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam as séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Agora, vamos calcular as derivadas dessa série:
Substituindo e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices para termos iguais:
Para alinhar os termos, mudamos o índice na segunda soma:
Agora, escrevemos todas as potências de :
Essa é a relação de recorrência que vamos usar para encontrar os coeficientes da série.

Passo 3

Vamos começar encontrando os primeiros 5 termos da série. Precisamos dos coeficientes .
Primeiro, determinamos e . Como a solução é geral, e são cofatores livres (podemos escolher).
Vamos considerar e , onde e são constantes.
Usando a relação de recorrência para :
Como não existe (não há termos negativos), temos:
Para :
Novamente, não existe, então:
Para :
Para :
Então, os primeiros 5 termos são:

Passo 4

Agora, vamos tentar identificar um termo geral para a série. Observando a relação de recorrência:
Podemos notar que os coeficientes para par dependem de e para ímpar dependem de . Portanto, podemos expressar a solução como uma combinação de duas séries separadas:
Onde representa o fatorial duplo. Essa expressão geral permite calcular qualquer termo da série, seguindo o padrão identificado.

Resposta

A solução geral em séries de potências para a equação diferencial em torno de é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(a) .
Determine as raízes das equações.
De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher?