Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
©
e
constante.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
, onde
é uma constante e estamos resolvendo em torno de
. O que a gente vai fazer é encontrar soluções em séries de potências para essa equação. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam as séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Agora, vamos calcular as derivadas dessa série:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices para termos iguais:
Para alinhar os termos, mudamos o índice na segunda soma:
Agora, escrevemos todas as potências de
:
Essa é a relação de recorrência que vamos usar para encontrar os coeficientes da série.
Passo 3
Vamos começar encontrando os primeiros 5 termos da série. Precisamos dos coeficientes
.
Primeiro, determinamos
e
. Como a solução é geral,
e
são cofatores livres (podemos escolher).
Vamos considerar
e
, onde
e
são constantes.
Usando a relação de recorrência para
:
Como
não existe (não há termos negativos), temos:
Para
:
Novamente,
não existe, então:
Para
:
Para
:
Então, os primeiros 5 termos são:
Passo 4
Agora, vamos tentar identificar um termo geral para a série. Observando a relação de recorrência:
Podemos notar que os coeficientes
para
par dependem de
e para
ímpar dependem de
. Portanto, podemos expressar a solução como uma combinação de duas séries separadas:
Onde
representa o fatorial duplo. Essa expressão geral permite calcular qualquer termo da série, seguindo o padrão identificado.
Resposta
A solução geral em séries de potências para a equação diferencial
em torno de
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
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Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(a) .
(a)
Determine as raízes das equações.
De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher?