Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar soluções em séries de potências da equação diferencial
em torno do ponto
. Para isso, vamos precisar entender como desenvolver soluções usando séries de potências, encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes da série, calcular os primeiros 5 termos de cada solução e, se der, descobrir uma fórmula geral para os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução da equação diferencial pode ser expressa como uma série de potências centrada em
. Ou seja,
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Para simplificar, vamos expandir
como
e distribuir:
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de
.
Passo 6
Após ajustar os índices e coletar os termos semelhantes, podemos escrever a equação em termos de
:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Portanto, temos a relação de recorrência:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os primeiros 5 termos da solução. Começamos assumindo
e
como constantes arbitrárias.
Para
:
Como
, temos:
Para
:
Continuando dessa forma, podemos encontrar
e
.
Passo 8
Finalmente, se for possível, buscamos uma expressão geral para
. Observando a relação de recorrência:
Essa fórmula nos permite calcular qualquer termo
em termos dos dois termos anteriores, formando assim uma sequência definida recursivamente.
Resposta
A relação de recorrência encontrada é:
Os primeiros 5 termos de cada solução são expressos em função de
e
, conforme calculado nos passos anteriores. A expressão geral para os coeficientes permite determinar todos os termos da série solução.
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