Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0 ; 2 Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(h) x y'' + y' + x y = 0, x0 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar soluções em séries de potências da equação diferencial em torno do ponto . Para isso, vamos precisar entender como desenvolver soluções usando séries de potências, encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes da série, calcular os primeiros 5 termos de cada solução e, se der, descobrir uma fórmula geral para os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução da equação diferencial pode ser expressa como uma série de potências centrada em . Ou seja,
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Para simplificar, vamos expandir como e distribuir:
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de .

Passo 6

Após ajustar os índices e coletar os termos semelhantes, podemos escrever a equação em termos de :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Portanto, temos a relação de recorrência:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os primeiros 5 termos da solução. Começamos assumindo e como constantes arbitrárias.
Para :
Como , temos:
Para :
Continuando dessa forma, podemos encontrar e .

Passo 8

Finalmente, se for possível, buscamos uma expressão geral para . Observando a relação de recorrência:
Essa fórmula nos permite calcular qualquer termo em termos dos dois termos anteriores, formando assim uma sequência definida recursivamente.

Resposta

A relação de recorrência encontrada é:
Os primeiros 5 termos de cada solução são expressos em função de e , conforme calculado nos passos anteriores. A expressão geral para os coeficientes permite determinar todos os termos da série solução.

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