A sequência
converge?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma sequência definida por
e queremos descobrir se essa sequência converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que basicamente nos dizem para onde os termos da sequência estão indo conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte do numerador, que é
. Essa expressão faz a sequência alternar o sinal dos termos: quando
é par,
é
, e quando
é ímpar, é
. Então, a sequência está alternando entre valores positivos e negativos.
Passo 3
Agora, vamos ver o denominador, que é
. Conforme
cresce,
fica cada vez maior, o que faz com que
diminua e se aproxime de
. Ou seja,
.
Passo 4
Juntando as duas partes, temos
. Mesmo que o numerador esteja alternando entre
e
, o denominador está crescendo sem limites, fazendo com que todo o termo tendendo a
. Isso porque o valor absoluto de
é
, que sabemos que vai para
.
Resposta
A sequência
converge para
.
Exercícios relacionados
A sequência
tal que
, converge?.
Obtenha a representação em série de potências em torno de
de
. Determine ainda o raio de convergência da série.
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(h) .
(h)
Seja
. Determine a soma da série.