A série sumn=1^infty(-1)^n 3^2 n+1n^2 n é convergente ou divergente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é super útil quando temos termos com no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série , calculamos :
  • Se o limite for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa série. O termo geral é . Primeiro, pegamos o valor absoluto para simplificar: .

Passo 4

Vamos calcular a raiz raiz[n]|an| = raiz[n]3^2n+1n^2n = raiz[n]3^2n+1raiz[n]n^2n -ésima de raiz[n]3^2n+1 = 3^(2n+1)/n = 3^2 + 1/n :
raiz[n]n^2n = n^2
Simplificando as raízes:

Passo 5

Então, temos:
raiz[n]|an| = 3^2 + 1/nn^2 = 9 cdot 3^1/nn^2
Quando tende ao infinito:
  • porque qualquer número elevado a tende a 1.
  • , então .

Passo 6

Portanto:
limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty 9 cdot 3^1/nn^2 = 0
Como , pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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