A série
é convergente ou divergente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é super útil quando temos termos com
no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série
, calculamos
:
- Se o limite for menor que 1, a série converge.
- Se for maior que 1, a série diverge.
- Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa série. O termo geral é
. Primeiro, pegamos o valor absoluto para simplificar:
.
Passo 4
Vamos calcular a raiz
-ésima de
:
Simplificando as raízes:
Passo 5
Então, temos:
Quando
tende ao infinito:
-
porque qualquer número elevado a tende a 1. -
, então .
Passo 6
Portanto:
Como
, pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine a soma da série.
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(h) .
(h)
Seja
Verificar se
é contínua nos pontos -1 e 1.