Seja
. Determine a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que você mandou. A gente tem uma série infinita:
. A missão aqui é descobrir qual é a soma dessa série. Para resolver, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são um tipo de sequência que facilita a gente calcular a soma quando alguns critérios são atendidos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Observe que podemos separar a fração em duas partes:
Isso fica igual a:
Simplificando ainda mais:
Passo 3
Agora, reconhecemos que temos duas séries geométricas separadas:
Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
Passo 4
Vamos calcular a soma de cada uma dessas séries usando a fórmula da soma infinita da série geométrica:
Para a primeira série:
-
(quando , ) -
Então:
Para a segunda série:
-
(quando , ) -
Então:
Passo 5
Agora, voltamos à nossa série original, que é a diferença das duas séries que calculamos:
Resposta
A soma da série é
.