Seja sumn=1^infty 3^n-1-2^n-16^n-1. Determine a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que você mandou. A gente tem uma série infinita: . A missão aqui é descobrir qual é a soma dessa série. Para resolver, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são um tipo de sequência que facilita a gente calcular a soma quando alguns critérios são atendidos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Observe que podemos separar a fração em duas partes:
3^n-16^n-1 - 2^n-16^n-1
Isso fica igual a:
(36)^n-1 - (26)^n-1
Simplificando ainda mais:
(12)^n-1 - (13)^n-1

Passo 3

Agora, reconhecemos que temos duas séries geométricas separadas:
Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum.

Passo 4

Vamos calcular a soma de cada uma dessas séries usando a fórmula da soma infinita da série geométrica:
S = a1 - r
Para a primeira série:
  • S1 = 11 - 12 = 112 = 2 (quando S2 = 11 - 13 = 123 = 32 , )
Então:
Para a segunda série:
  • (quando , )
Então:

Passo 5

Agora, voltamos à nossa série original, que é a diferença das duas séries que calculamos:
S = S1 - S2 = 2 - 32 = 42 - 32 = 12

Resposta

A soma da série é .

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