A sequência (n^k) / (k^n) com n pertencente a N tal que k > 1, converge?.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a sequência , onde , converge. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências e crescimento de funções. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa razão conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma função polinomial de , enquanto é uma função exponencial. Em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido que as polinomiais quando fica grande.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que, para , cresce exponencialmente enquanto cresce apenas de forma polinomial.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar o conceito de que, para qualquer número fixo , a função eventualmente domina qualquer função polinomial . Portanto, conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador , fazendo com que a fração diminua.

Passo 5

Assim, o limite da sequência é:
Isso significa que a sequência converge para zero.

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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