A sequência
tal que
, converge?.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a sequência
, onde
, converge. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências e crescimento de funções. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa razão conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é uma função polinomial de
, enquanto
é uma função exponencial. Em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido que as polinomiais quando
fica grande.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que, para
,
cresce exponencialmente enquanto
cresce apenas de forma polinomial.
Passo 4
Para formalizar isso, podemos usar o conceito de que, para qualquer número fixo
, a função
eventualmente domina qualquer função polinomial
. Portanto, conforme
aumenta, o denominador
cresce muito mais rápido que o numerador
, fazendo com que a fração diminua.
Passo 5
Assim, o limite da sequência é:
Isso significa que a sequência converge para zero.
Resposta
A sequência
converge e o limite é 0.
Exercícios relacionados
Obtenha a representação em série de potências em torno de
de
. Determine ainda o raio de convergência da série.
Determine se a série
converge ou diverge, sendo
uma constante real fixada.
A sequência
converge?
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(h) .
(h)