A sequência (n^k) / (k^n) com n pertencente a N tal que k > 1, converge?.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a sequência , onde , converge. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências e crescimento de funções. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa razão conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma função polinomial de , enquanto é uma função exponencial. Em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido que as polinomiais quando fica grande.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que, para , cresce exponencialmente enquanto cresce apenas de forma polinomial.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar o conceito de que, para qualquer número fixo , a função eventualmente domina qualquer função polinomial . Portanto, conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador , fazendo com que a fração diminua.

Passo 5

Assim, o limite da sequência é:
Isso significa que a sequência converge para zero.

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

Exercícios relacionados

Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 de f(x) = x/(2-x). Determine ainda o raio de convergência da série.
Determine se a série sumn=1^infty cos (k n)n^2 converge ou diverge, sendo k uma constante real fixada.
A sequência (-1)^(n+1)/n converge?
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0 ; 2 Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(h) x y'' + y' + x y = 0, x0 = 1.