Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
a)
para todo
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisar a proposição
para todo
. Aqui, estamos lidando com números naturais (
) e números inteiros (
). Precisamos verificar se existe algum valor de
que sempre satisfaça a desigualdade
para todos os inteiros
. Vamos ver exemplos e contraexemplos para entender melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a desigualdade
. Isso quer dizer que o quadrado de qualquer número inteiro
deve ser maior ou igual a
. Vamos pensar em alguns valores de
e ver se essa condição é sempre verdadeira.
Passo 3
Vamos começar com
. Se
, então
, que não é maior ou igual a 1. Isso já mostra que para
, a proposição não é verdadeira para todo
. Portanto,
é um contraexemplo que invalida a proposição.
Passo 4
Vamos verificar outro valor, digamos
. Se
, então a desigualdade
é sempre verdadeira porque o quadrado de qualquer número inteiro é sempre maior ou igual a zero. Isso significa que
cumpre a proposição.
Passo 5
No entanto, geralmente consideramos que os números naturais começam a partir de 1 (
). Se esse for o caso, não existe nenhum
que satisfaça a proposição para todos os
. Sempre podemos encontrar um inteiro
(como
) que faz
.
Resposta
Exemplo: Se considerarmos
, então para todo
,
é verdadeiro.
Contraexemplo: Para qualquer
onde
, escolhendo
, temos
, o que torna a proposição falsa.