Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
a) m ∈ N n² ≥ m para todo n em Z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisar a proposição para todo n em Z. Aqui, estamos lidando com números naturais ( N) e números inteiros ( Z). Precisamos verificar se existe algum valor de m que sempre satisfaça a desigualdade n^2 >= m para todos os inteiros n. Vamos ver exemplos e contraexemplos para entender melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a desigualdade n^2 >= m. Isso quer dizer que o quadrado de qualquer número inteiro n deve ser maior ou igual a m. Vamos pensar em alguns valores de m e ver se essa condição é sempre verdadeira.

Passo 3

Vamos começar com . Se , então , que não é maior ou igual a 1. Isso já mostra que para , a proposição não é verdadeira para todo n em Z. Portanto, é um contraexemplo que invalida a proposição.

Passo 4

Vamos verificar outro valor, digamos . Se , então a desigualdade é sempre verdadeira porque o quadrado de qualquer número inteiro é sempre maior ou igual a zero. Isso significa que cumpre a proposição.

Passo 5

No entanto, geralmente consideramos que os números naturais começam a partir de 1 ( ). Se esse for o caso, não existe nenhum m em N que satisfaça a proposição para todos os n em Z. Sempre podemos encontrar um inteiro n (como ) que faz .

Resposta

Exemplo: Se considerarmos , então para todo n em Z, é verdadeiro.
Contraexemplo: Para qualquer m em N onde , escolhendo , temos , o que torna a proposição falsa.

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