Dados
, assinale as proposições verdadeiras:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui, temos dois números reais
e
, sendo que
não é zero. A proposição que precisamos analisar é sobre uma implicação envolvendo desigualdades lineares. Vamos precisar entender como resolver desigualdades e como elas se comportam quando multiplicamos ou dividimos por números positivos ou negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a proposição dada:
Isso significa que, para todo número
, se
, então ou
é positivo e
é maior que
, ou
é negativo e
é menor que
.
Passo 3
Vamos analisar separadamente os casos em que
é positivo e quando
é negativo.
Caso 1:
Quando
é positivo, ao dividirmos a desigualdade
por
, a direção da desigualdade permanece a mesma. Então:
Isso confirma a parte
da proposição.
Caso 2:
Quando
é negativo, ao dividirmos a desigualdade
por
, a direção da desigualdade se inverte. Então:
Isso confirma a parte
da proposição.
Passo 4
Como vimos nos dois casos, a proposição
é válida tanto quando
é positivo quanto quando
é negativo. Portanto, a proposição é sempre verdadeira para todo
real.
Resposta
Verdadeira.