Dados a, b in R, a != 0, assinale as proposições verdadeiras:
e) ∀x, a*x > b ⇒
(a > 0 e x > b/a) ou (a < 0 e x < b/a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui, temos dois números reais e , sendo que não é zero. A proposição que precisamos analisar é sobre uma implicação envolvendo desigualdades lineares. Vamos precisar entender como resolver desigualdades e como elas se comportam quando multiplicamos ou dividimos por números positivos ou negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a proposição dada:
Isso significa que, para todo número , se , então ou é positivo e é maior que , ou é negativo e é menor que .

Passo 3

Vamos analisar separadamente os casos em que é positivo e quando é negativo.
Caso 1:
Quando é positivo, ao dividirmos a desigualdade por , a direção da desigualdade permanece a mesma. Então:
Isso confirma a parte da proposição.
Caso 2:
Quando é negativo, ao dividirmos a desigualdade por , a direção da desigualdade se inverte. Então:
Isso confirma a parte da proposição.

Passo 4

Como vimos nos dois casos, a proposição é válida tanto quando é positivo quanto quando é negativo. Portanto, a proposição é sempre verdadeira para todo real.

Resposta

Verdadeira.

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