Determine o valor-verdade das seguintes proposições
c) , tal que

Passo 1

Então, a gente tem essa proposição: "Existe um número real tal que ". A matéria envolvida aqui é Análise de Funções Quadráticas. Vamos precisar verificar se a função quadrática é sempre positiva, ou seja, se seu valor é maior que zero para todo real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral . No nosso caso, , e .

Passo 3

Para saber se a função é sempre positiva, precisamos analisar o discriminante da equação quadrática, que é dado por .

Passo 4

Vamos calcular o discriminante:
Como , isso significa que a equação quadrática não tem raízes reais.

Passo 5

Quando o discriminante é negativo e , a parábola associada à função quadrática está totalmente acima do eixo . Portanto, é sempre positiva para qualquer valor real de .

Resposta

A proposição é verdadeira, pois para todo , .

Exercícios relacionados

Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
d)
Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
a) para todo
São dados , com . Para cada número real , considere as seguintes afirmações:
  1. é solução de
  2. Se possui solução, esta tem que ser
  3. A solução de é
    Para cada proposição abaixo, determine qual das afirmações acima lhe corresponde:
    b)
Para cada uma das proposições do Exercício 21, escreva a sua negação em linguagem simbólica e em linguagem natural
22h.) (Existe um número racional que é maior ou igual ao seu inverso).