Determine o valor-verdade das seguintes proposições
c)
, tal que
c)
Passo 1
Então, a gente tem essa proposição: "Existe um número real
tal que
". A matéria envolvida aqui é Análise de Funções Quadráticas. Vamos precisar verificar se a função quadrática
é sempre positiva, ou seja, se seu valor é maior que zero para todo
real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para saber se a função é sempre positiva, precisamos analisar o discriminante da equação quadrática, que é dado por
.
Passo 4
Vamos calcular o discriminante:
Como
, isso significa que a equação quadrática não tem raízes reais.
Passo 5
Quando o discriminante é negativo e
, a parábola associada à função quadrática está totalmente acima do eixo
. Portanto,
é sempre positiva para qualquer valor real de
.
Resposta
A proposição é verdadeira, pois para todo
,
.
Exercícios relacionados
Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
d)
d)
Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
a) para todo
a)
São dados
, com
. Para cada número real
, considere as seguintes afirmações:
-
é solução de - Se
possui solução, esta tem que ser - A solução de
é
Para cada proposição abaixo, determine qual das afirmações acima lhe corresponde:
b)
Para cada uma das proposições do Exercício 21, escreva a sua negação em linguagem simbólica e em linguagem natural
22h.) (Existe um número racional que é maior ou igual ao seu inverso).
22h.)