Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos a equação da quadrica e precisamos:
  1. Encontrar sua equação reduzida.
  2. Classificar a quadrica.
  3. Descrever o sistema de referência onde a equação está reduzida.
    Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como mudanças de coordenadas e classificação de quadricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação dada contém um termo cruzado . Isso indica que os eixos não estão alinhados com os principais e precisamos rotacionar o sistema de coordenadas para eliminar esse termo.

Passo 3

Para eliminar o termo cruzado , fazemos uma rotação nos eixos e em um ângulo . A fórmula para encontrar esse ângulo é:
onde , , e são os coeficientes dos termos , e respectivamente.

Passo 4

Calculamos :
Como o denominador é zero, isso significa que , então .

Passo 5

Aplicamos a rotação de nos eixos e . As novas coordenadas e são dadas por:

Passo 6

Substituímos e na equação original:

Passo 7

Expandimos os termos:

Passo 8

Simplificamos cada parte:

Passo 9

Continuamos a simplificação:

Passo 10

Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 11

Simplificamos a fração:

Passo 12

Rearranjamos para a forma padrão:

Passo 13

Dividimos todos os termos para isolar 1 no lado direito:

Passo 14

Identificamos os sinais e coeficientes para classificar a quadrica. Temos termos positivos e negativos, indicando um hiperbolóide.

Passo 15

Como dois termos têm o mesmo sinal e um tem sinal oposto, classifica-se a equação como um hiperbolóide de duas folhas.

Passo 16

O sistema de referência utilizado foi aquele onde os eixos e foram rotacionados para eliminar o termo cruzado, resultando na equação reduzida.

Resposta

A equação reduzida é . Esta é um hiperbolóide de duas folhas, obtido no sistema de referência onde os eixos e foram rotacionados para eliminar o termo cruzado .

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Sejam
(b)
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