Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos a equação da quadrica e precisamos:
Encontrar sua equação reduzida.
Classificar a quadrica.
Descrever o sistema de referência onde a equação está reduzida.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como mudanças de coordenadas e classificação de quadricas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação dada contém um termo cruzado . Isso indica que os eixos não estão alinhados com os principais e precisamos rotacionar o sistema de coordenadas para eliminar esse termo.
Passo 3
Para eliminar o termo cruzado , fazemos uma rotação nos eixos e em um ângulo . A fórmula para encontrar esse ângulo é:
onde , , e são os coeficientes dos termos , e respectivamente.
Passo 4
Calculamos :
Como o denominador é zero, isso significa que , então .
Passo 5
Aplicamos a rotação de nos eixos e . As novas coordenadas e são dadas por:
Passo 6
Substituímos e na equação original:
Passo 7
Expandimos os termos:
Passo 8
Simplificamos cada parte:
Passo 9
Continuamos a simplificação:
Passo 10
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 11
Simplificamos a fração:
Passo 12
Rearranjamos para a forma padrão:
Passo 13
Dividimos todos os termos para isolar 1 no lado direito:
Passo 14
Identificamos os sinais e coeficientes para classificar a quadrica. Temos termos positivos e negativos, indicando um hiperbolóide.
Passo 15
Como dois termos têm o mesmo sinal e um tem sinal oposto, classifica-se a equação como um hiperbolóide de duas folhas.
Passo 16
O sistema de referência utilizado foi aquele onde os eixos e foram rotacionados para eliminar o termo cruzado, resultando na equação reduzida.
Resposta
A equação reduzida é . Esta é um hiperbolóide de duas folhas, obtido no sistema de referência onde os eixos e foram rotacionados para eliminar o termo cruzado .