Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justiffique sua resposta. onde

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto é um subespaço do espaço . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é um subespaço vetorial: um subconjunto de um espaço vetorial que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e que contém o vetor nulo. Então, para verificar se é um subespaço, precisamos confirmar três coisas:
  1. O vetor nulo está em .
  2. Se dois elementos estão em , a soma deles também está em (fechamento sob adição).
  3. Se um elemento está em , qualquer múltiplo escalar dele também está em (fechamento sob multiplicação escalar).

Passo 3

Vamos verificar o primeiro ponto: o vetor nulo. O vetor nulo em é a matriz com todos os elementos iguais a zero:
Substituindo na condição , temos:
, que satisfaz a condição. Portanto, o vetor nulo está em .

Passo 4

Agora, o fechamento sob adição. Suponha que temos duas matrizes e em . Isso significa que:

Vamos somar e :
Agora, verificamos se está em :
Portanto, também satisfaz a condição e está em .

Passo 5

Por fim, vamos verificar o fechamento sob multiplicação escalar. Seja um escalar e uma matriz em , ou seja, .
Multiplicando por :
Verificando a condição para :
Assim, também satisfaz a condição e está em .

Resposta

Como todos os três critérios para ser um subespaço vetorial foram satisfeitos, concluímos que o conjunto é, de fato, um subespaço de .

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