Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justiffique sua resposta. W=[lla & b c & d] in M(2): a+b-c-d=0 onde E=M(2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto W=[cca & b c & d] in M(2): a+b-c-d=0 é um subespaço do espaço E=M(2). Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é um subespaço vetorial: um subconjunto de um espaço vetorial que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e que contém o vetor nulo. Então, para verificar se W é um subespaço, precisamos confirmar três coisas:
  1. O vetor nulo está em W.
  2. Se dois elementos estão em W, a soma deles também está em W (fechamento sob adição).
  3. Se um elemento está em W, qualquer múltiplo escalar dele também está em W (fechamento sob multiplicação escalar).

Passo 3

Vamos verificar o primeiro ponto: o vetor nulo. O vetor nulo em M(2) é a matriz com todos os elementos iguais a zero:
[cc0 & 0 0 & 0]
Substituindo na condição a + b - c - d = 0, temos:
0 + 0 - 0 - 0 = 0, que satisfaz a condição. Portanto, o vetor nulo está em W.

Passo 4

Agora, o fechamento sob adição. Suponha que temos duas matrizes A = [cca1 & b1 c1 & d1] e B = [cca2 & b2 c2 & d2] em W. Isso significa que:
a1 + b1 - c1 - d1 = 0
a2 + b2 - c2 - d2 = 0
Vamos somar A e B:
A + B = [cca1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2]
Agora, verificamos se A + B está em W:
(a1 + a2) + (b1 + b2) - (c1 + c2) - (d1 + d2) = (a1 + b1 - c1 - d1) + (a2 + b2 - c2 - d2) = 0 + 0 = 0
Portanto, A + B também satisfaz a condição e está em W.

Passo 5

Por fim, vamos verificar o fechamento sob multiplicação escalar. Seja k um escalar e A = [cca & b c & d] uma matriz em W, ou seja, a + b - c - d = 0.
Multiplicando A por k:
kA = [ccka & kb kc & kd]
Verificando a condição para kA:
ka + kb - kc - kd = k(a + b - c - d) = k cdot 0 = 0
Assim, kA também satisfaz a condição e está em W.

Resposta

Como todos os três critérios para ser um subespaço vetorial foram satisfeitos, concluímos que o conjunto W é, de fato, um subespaço de E=M(2).

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