Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justiffique sua resposta.
onde
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto
é um subespaço do espaço
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é um subespaço vetorial: um subconjunto de um espaço vetorial que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e que contém o vetor nulo. Então, para verificar se
é um subespaço, precisamos confirmar três coisas:
- O vetor nulo está em
. - Se dois elementos estão em
, a soma deles também está em (fechamento sob adição). - Se um elemento está em
, qualquer múltiplo escalar dele também está em (fechamento sob multiplicação escalar).
Passo 3
Vamos verificar o primeiro ponto: o vetor nulo. O vetor nulo em
é a matriz com todos os elementos iguais a zero:
Substituindo na condição
, temos:
Passo 4
Agora, o fechamento sob adição. Suponha que temos duas matrizes
e
em
. Isso significa que:
Vamos somar
e
:
Agora, verificamos se
está em
:
Portanto,
também satisfaz a condição e está em
.
Passo 5
Por fim, vamos verificar o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
um escalar e
uma matriz em
, ou seja,
.
Multiplicando
por
:
Verificando a condição para
:
Assim,
também satisfaz a condição e está em
.
Resposta
Como todos os três critérios para ser um subespaço vetorial foram satisfeitos, concluímos que o conjunto
é, de fato, um subespaço de
.