Considere a matriz A descrita por
A=(lll a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b )
Identifique a quádrica descrita pela equação
2 x^2+2 y^2+2 z^2+2 y z-8=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz e uma equação quadrática. Nosso objetivo é identificar que tipo de superfície quádrupla (quádrica) a equação representa. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre formas quadráticas e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação quadrática dada:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2yz - 8 = 0
Essa equação representa uma superfície no espaço tridimensional. Para identificar qual é essa superfície, precisamos reescrevê-la de uma forma mais familiar.

Passo 3

Vamos começar organizando a equação:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2yz = 8
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
x^2 + y^2 + z^2 + yz = 4

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem y^2 + z^2 + yz = (y + z2)^2 + 3z^24 e x^2 + (y + z2)^2 + 3z^24 = 4 . Observamos que temos o termo , que pode ser reescrito para facilitar a identificação da superfície.
Usando a identidade:
Substituindo na equação:

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos fazer uma mudança de variável. Definimos:
Y = y + z2
Então, a equação fica:
x^2 + Y^2 + 3z^24 = 4
Dividindo ambos os lados por 4:
x^24 + Y^24 + 3z^216 = 1

Passo 6

Agora, a equação está na forma padrão de uma elipsoide:
x^2a^2 + Y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Onde:
a^2 = 4 Rightarrow a = 2
b^2 = 4 Rightarrow b = 2
c^2 = 163 Rightarrow c = 4raiz3

Resposta

A equação dada representa uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixos de comprimentos , e .

Exercícios relacionados