Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem o conjunto
e uma relação específica entre esses números. Nosso objetivo é descobrir se essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos verificar três coisa: reflexividade, simetria e transitividade. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Isso significa que todo elemento do conjunto se relaciona consigo mesmo. Em termos matemáticos, para todo
no conjunto, o par
deve estar na relação.
Analisando a relação dada:
Vamos verificar se todos os pares
estão presentes:
-
está lá. -
também está. -
está. -
está.
Como todos os elementos têm o par com eles mesmos na relação, a condição de reflexividade é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos checar a simetria. Isso quer dizer que se um elemento
está relacionado com
, então
também está relacionado com
. Em outras palavras, se
está na relação, então
também deve estar.
Vamos verificar os pares:
-
está na relação, e também temos . -
está lá, e também . -
está, mas será que está?
Olha só, na relação apresentada, não temos o par
. Isso significa que a simetria não está completa, já que falta esse par.
Passo 4
Por último, vamos verificar a transitividade. Isso significa que se
e
estão na relação, então
também deve estar.
Vamos checar alguns exemplos:
- Temos
e . Então, para ser transitiva, deve ter . E, de fato, está na relação. - Temos
e . Assim, precisa ter . E, novamente, está presente. - Outro exemplo:
e deveriam implicar , que já está na relação.
Parece que a transitividade está ok.
Resposta
Então, resumindo:
- Reflexividade: A relação é reflexiva.
- Simetria: A relação não é simétrica porque falta o par
. - Transitividade: A relação é transitiva.
Como a relação não satisfaz todas as três condições (faltou a simetria completa), ela não é uma relação de equivalência.
Exercícios relacionados
Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo é injetora:
Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
: