Quais destas relações em são relações de equivalência?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem o conjunto e uma relação específica entre esses números. Nosso objetivo é descobrir se essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos verificar três coisa: reflexividade, simetria e transitividade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Isso significa que todo elemento do conjunto se relaciona consigo mesmo. Em termos matemáticos, para todo no conjunto, o par deve estar na relação.
Analisando a relação dada:
Vamos verificar se todos os pares estão presentes:
  • está lá.
  • também está.
  • está.
  • está.
Como todos os elementos têm o par com eles mesmos na relação, a condição de reflexividade é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos checar a simetria. Isso quer dizer que se um elemento está relacionado com , então também está relacionado com . Em outras palavras, se está na relação, então também deve estar.
Vamos verificar os pares:
  • está na relação, e também temos .
  • está lá, e também .
  • está, mas será que está?
Olha só, na relação apresentada, não temos o par . Isso significa que a simetria não está completa, já que falta esse par.

Passo 4

Por último, vamos verificar a transitividade. Isso significa que se e estão na relação, então também deve estar.
Vamos checar alguns exemplos:
  • Temos e . Então, para ser transitiva, deve ter . E, de fato, está na relação.
  • Temos e . Assim, precisa ter . E, novamente, está presente.
  • Outro exemplo: e deveriam implicar , que já está na relação.
Parece que a transitividade está ok.

Resposta

Então, resumindo:
  • Reflexividade: A relação é reflexiva.
  • Simetria: A relação não é simétrica porque falta o par .
  • Transitividade: A relação é transitiva.
Como a relação não satisfaz todas as três condições (faltou a simetria completa), ela não é uma relação de equivalência.

Exercícios relacionados

Quais destas relações em são relações de equivalência?
Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto para ele mesmo é injetora:
Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de para :