Quais destas relações em {0, 1, 2, 3} são relações de equivalência?
e {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,2),(3,3)}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem o conjunto {0, 1, 2, 3} e uma relação específica entre esses números. Nosso objetivo é descobrir se essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos verificar três coisa: reflexividade, simetria e transitividade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Isso significa que todo elemento do conjunto se relaciona consigo mesmo. Em termos matemáticos, para todo a no conjunto, o par deve estar na relação.
Analisando a relação dada:
Vamos verificar se todos os pares estão presentes:
  • (0,0) está lá.
  • 1,1 também está.
  • (2, 2) está.
  • 3,3 está.
Como todos os elementos têm o par com eles mesmos na relação, a condição de reflexividade é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos checar a simetria. Isso quer dizer que se um elemento a está relacionado com b, então b também está relacionado com a. Em outras palavras, se está na relação, então também deve estar.
Vamos verificar os pares:
  • 0,1 está na relação, e também temos 1,0.
  • 0,2 está lá, e também 2,0.
  • 1,2 está, mas será que (2,1) está?
Olha só, na relação apresentada, não temos o par (2,1). Isso significa que a simetria não está completa, já que falta esse par.

Passo 4

Por último, vamos verificar a transitividade. Isso significa que se e estão na relação, então também deve estar.
Vamos checar alguns exemplos:
  • Temos 0,1 e 1,2. Então, para ser transitiva, deve ter 0,2. E, de fato, 0,2 está na relação.
  • Temos 1,0 e 0,2. Assim, precisa ter 1,2. E, novamente, 1,2 está presente.
  • Outro exemplo: 0,2 e 2,0 deveriam implicar (0,0), que já está na relação.
Parece que a transitividade está ok.

Resposta

Então, resumindo:
  • Reflexividade: A relação é reflexiva.
  • Simetria: A relação não é simétrica porque falta o par (2,1).
  • Transitividade: A relação é transitiva.
Como a relação não satisfaz todas as três condições (faltou a simetria completa), ela não é uma relação de equivalência.

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