Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma relação no conjunto
e decidir se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa.
Passo 2
Primeiro, reflexiva: uma relação é reflexiva se todo elemento do conjunto está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
no conjunto, o par
deve estar na relação.
Passo 3
Segundo, simétrica: uma relação é simétrica se sempre que
está na relação, então
também está. Basicamente, se
está relacionado com
, então
está relacionado com
.
Passo 4
Terceiro, transitiva: uma relação é transitiva se, sempre que
e
estão na relação, então
também deve estar. É como dizer que se
está com
e
está com
, então
está com
.
Passo 5
Quarto, anti-simétrica: uma relação é anti-simétrica se, sempre que
e
estão na relação, então
precisa ser igual a
. Ou seja, não pode ter pares diferentes que se relacionam reciprocamente.
Passo 6
Agora, vamos analisar a relação dada:
.
- Reflexiva: Todos os elementos estão relacionados consigo mesmos. Então, sim, é reflexiva.
- Simétrica: Para cada par
, o inverso também está presente. Então, sim, é simétrica. - Transitiva: Se pegar qualquer dois pares
e , o par também está presente. Então, sim, é transitiva. - Anti-simétrica: Não há pares diferentes que se relacionam reciprocamente, apenas pares iguais. Então, sim, é anti-simétrica.
Resposta
A relação é reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica.
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Encontre
e
em que
e
são funções de
para
.
Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
:
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Por que
não é uma função de
em
se: