Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma relação no conjunto e decidir se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa.

Passo 2

Primeiro, reflexiva: uma relação é reflexiva se todo elemento do conjunto está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo no conjunto, o par deve estar na relação.

Passo 3

Segundo, simétrica: uma relação é simétrica se sempre que está na relação, então também está. Basicamente, se está relacionado com , então está relacionado com .

Passo 4

Terceiro, transitiva: uma relação é transitiva se, sempre que e estão na relação, então também deve estar. É como dizer que se está com e está com , então está com .

Passo 5

Quarto, anti-simétrica: uma relação é anti-simétrica se, sempre que e estão na relação, então precisa ser igual a . Ou seja, não pode ter pares diferentes que se relacionam reciprocamente.

Passo 6

Agora, vamos analisar a relação dada: .
  • Reflexiva: Todos os elementos estão relacionados consigo mesmos. Então, sim, é reflexiva.
  • Simétrica: Para cada par , o inverso também está presente. Então, sim, é simétrica.
  • Transitiva: Se pegar qualquer dois pares e , o par também está presente. Então, sim, é transitiva.
  • Anti-simétrica: Não há pares diferentes que se relacionam reciprocamente, apenas pares iguais. Então, sim, é anti-simétrica.

Resposta

A relação é reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica.

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Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
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