Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de relações no conjunto . A gente precisa verificar se a relação é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos entender cada uma dessas propriedades e checar se a relação as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para cada elemento no conjunto, o par deve estar na relação .
No nosso caso, o conjunto é . Precisamos ter os pares , , e na relação. Olhando a relação , vemos que esses pares não estão presentes. Então, a relação não é reflexiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a relação é simétrica. Uma relação é simétrica se sempre que está na relação, também está.
Vamos checar os pares:
  • está em , mas também está. Ótimo.
  • está em , mas não está. Aqui já falhamos.
  • está em , mas não está.
  • está em , mas não está.
  • está em , e também está.
  • está em , mas não está.
Como nem todos os pares têm seu inverso na relação, não é simétrica.

Passo 4

Vamos para a propriedade da transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que e estão na relação, então também está.
Vamos ver os casos:
  • e : para ser transitiva, deveria estar, mas não está.
  • e : então deve estar. E está! Isso tá ok.
  • não tem pares começando com 4, então nada a verificar aqui.
  • e : então deveria estar, mas não está.
  • e : então deve estar, e está!
  • não tem pares começando com 4.
  • e : então deveria estar, mas não está.
  • e : então deve estar, e está!
  • não tem pares começando com 4.
Vimos que nem todos os casos satisfazem a transitividade (faltam alguns pares necessários), então não é transitiva.

Passo 5

Por fim, vamos ver se a relação é anti-simétrica. Uma relação é anti-simétrica se, sempre que e estão na relação, então .
Vamos checar:
  • e estão na relação, mas . Isso viola a anti-simetria.
  • não tem , então tudo bem.
  • não tem , tudo bom.
  • não tem , tranquilo.
  • e já vimos que viola.
  • não tem , ok.
Como existe pelo menos um caso onde e estão na relação com , não é anti-simétrica.

Resposta

A relação não é reflexiva, não é simétrica, não é transitiva e não é anti-simétrica.

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