Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de relações no conjunto
. A gente precisa verificar se a relação
é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos entender cada uma dessas propriedades e checar se a relação
as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para cada elemento
no conjunto, o par
deve estar na relação
.
No nosso caso, o conjunto é
. Precisamos ter os pares
,
,
e
na relação. Olhando a relação
, vemos que esses pares não estão presentes. Então, a relação
não é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a relação é simétrica. Uma relação é simétrica se sempre que
está na relação,
também está.
Vamos checar os pares:
-
está em , mas também está. Ótimo. -
está em , mas não está. Aqui já falhamos. -
está em , mas não está. -
está em , mas não está. -
está em , e também está. -
está em , mas não está.
Como nem todos os pares têm seu inverso na relação,
não é simétrica.
Passo 4
Vamos para a propriedade da transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que
e
estão na relação, então
também está.
Vamos ver os casos:
-
e : para ser transitiva, deveria estar, mas não está. -
e : então deve estar. E está! Isso tá ok. -
não tem pares começando com 4, então nada a verificar aqui. -
e : então deveria estar, mas não está. -
e : então deve estar, e está! -
não tem pares começando com 4. -
e : então deveria estar, mas não está. -
e : então deve estar, e está! -
não tem pares começando com 4.
Vimos que nem todos os casos satisfazem a transitividade (faltam alguns pares necessários), então
não é transitiva.
Passo 5
Por fim, vamos ver se a relação é anti-simétrica. Uma relação é anti-simétrica se, sempre que
e
estão na relação, então
.
Vamos checar:
-
e estão na relação, mas . Isso viola a anti-simetria. -
não tem , então tudo bem. -
não tem , tudo bom. -
não tem , tranquilo. -
e já vimos que viola. -
não tem , ok.
Como existe pelo menos um caso onde
e
estão na relação com
,
não é anti-simétrica.
Resposta
A relação
não é reflexiva, não é simétrica, não é transitiva e não é anti-simétrica.
Exercícios relacionados
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Encontre
e
em que
e
são funções de
para
.
Por que
não é uma função de
em
se:
Por que
não é uma função de
em
se: