Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total:
, onde
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma certa relação definida no conjunto dos números naturais, especificamente no conjunto dos pares de números naturais
, é uma relação de ordem. Além disso, se for uma ordem, temos que dizer se é uma ordem total. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem, quais são suas propriedades, e como verificar se é total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem. Uma relação
em um conjunto
é chamada de relação de ordem se ela for reflexiva, antissimétrica e transitiva.
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
, temos . - Antissimétrica: Se
e , então . - Transitiva: Se
e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada:
.
Passo 3
Reflexividade: Precisamos ver se
para todo
. Aplicando a definição:
Como
e
são sempre verdadeiros, a relação é reflexiva.
Passo 4
Antissimetria: Suponha que
e
. Então:
e
Da primeira parte,
e, da segunda,
, o que implica
. Da mesma forma,
e
implicam
. Portanto,
, o que mostra que a relação é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: Vamos considerar
e
. Isso significa:
e
Queremos mostrar que
, ou seja:
De
e
, pelo transitividade de
nos números naturais, temos
. De
e
, usando a transitividade de
, temos
. Assim, a relação é transitiva.
Passo 6
Como verificamos que a relação é reflexiva, antissimétrica e transitiva, concluímos que
é uma relação de ordem.
Passo 7
Agora, vamos ver se essa ordem é total. Uma ordem é total se, para quaisquer dois elementos
e
, ou
ou
.
Vamos pensar em um exemplo: considere
e
.
- Para
, precisaríamos que (verdade) e (verdade), então . - Para
, precisaríamos que (falso) e (falso), então não.
Agora, considere
e
: obviamente, ambos se relacionam.
Mas se tomarmos
e
:
-
: e (verdade). -
: (falso) e (falso).
Neste caso, só uma direção é verdadeira, então a relação é total.
Resposta
A relação
, onde
, é uma relação de ordem e essa ordem é total.