Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total: (N times N, preccurlyeq), onde (a, b) preccurlyeq(c, d) Long<=ftrightarrow a <= c wed>= b >= d.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma certa relação definida no conjunto dos números naturais, especificamente no conjunto dos pares de números naturais N times N, é uma relação de ordem. Além disso, se for uma ordem, temos que dizer se é uma ordem total. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem, quais são suas propriedades, e como verificar se é total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem. Uma relação preccurlyeq em um conjunto X é chamada de relação de ordem se ela for reflexiva, antissimétrica e transitiva.
  • Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo (a, b) in N times N, temos (a, b) preccurlyeq (a, b).
  • Antissimétrica: Se (a, b) preccurlyeq (c, d) e (c, d) preccurlyeq (a, b), então (a, b) = (c, d).
  • Transitiva: Se (a, b) preccurlyeq (c, d) e (c, d) preccurlyeq (e, f), então (a, b) preccurlyeq (e, f).
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada: (a, b) preccurlyeq (c, d) Long<=ftrightarrow a <= c wed>= b >= d.

Passo 3

Reflexividade: Precisamos ver se (a, b) preccurlyeq (a, b) para todo (a, b). Aplicando a definição:
a <= a wed>= b >= b
Como a <= a e b >= b são sempre verdadeiros, a relação é reflexiva.

Passo 4

Antissimetria: Suponha que (a, b) preccurlyeq (c, d) e (c, d) preccurlyeq (a, b). Então:
a <= c wed>= b >= d
e
c <= a wed>= d >= b
Da primeira parte, a <= c e, da segunda, c <= a, o que implica a = c. Da mesma forma, b >= d e d >= b implicam b = d. Portanto, (a, b) = (c, d), o que mostra que a relação é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade: Vamos considerar (a, b) preccurlyeq (c, d) e (c, d) preccurlyeq (e, f). Isso significa:
a <= c wed>= b >= d
e
c <= e wed>= d >= f
Queremos mostrar que (a, b) preccurlyeq (e, f), ou seja:
a <= e wed>= b >= f
De a <= c e c <= e, pelo transitividade de <= nos números naturais, temos a <= e. De b >= d e d >= f, usando a transitividade de >=, temos b >= f. Assim, a relação é transitiva.

Passo 6

Como verificamos que a relação é reflexiva, antissimétrica e transitiva, concluímos que (N times N, preccurlyeq) é uma relação de ordem.

Passo 7

Agora, vamos ver se essa ordem é total. Uma ordem é total se, para quaisquer dois elementos (a, b) e (c, d), ou (a, b) preccurlyeq (c, d) ou (c, d) preccurlyeq (a, b).
Vamos pensar em um exemplo: considere (1, 2) e (2, 1).
  • Para (1, 2) preccurlyeq (2, 1), precisaríamos que 1 <= 2 (verdade) e 2 >= 1 (verdade), então (1, 2) preccurlyeq (2, 1).
  • Para (2, 1) preccurlyeq (1, 2), precisaríamos que 2 <= 1 (falso) e 1 >= 2 (falso), então não.
Agora, considere (1, 1) e (1, 1): obviamente, ambos se relacionam.
Mas se tomarmos (1, 3) e (2, 2):
  • (1, 3) preccurlyeq (2, 2): 1 <= 2 e 3 >= 2 (verdade).
  • (2, 2) preccurlyeq (1, 3): 2 <= 1 (falso) e 2 >= 3 (falso).
Neste caso, só uma direção é verdadeira, então a relação é total.

Resposta

A relação (N times N, preccurlyeq), onde (a, b) preccurlyeq(c, d) Long<=ftrightarrow a <= c wed>= b >= d, é uma relação de ordem e essa ordem é total.

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