Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total: , onde .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma certa relação definida no conjunto dos números naturais, especificamente no conjunto dos pares de números naturais , é uma relação de ordem. Além disso, se for uma ordem, temos que dizer se é uma ordem total. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem, quais são suas propriedades, e como verificar se é total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem. Uma relação em um conjunto é chamada de relação de ordem se ela for reflexiva, antissimétrica e transitiva. - **Reflexiva**: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo , temos . - **Antissimétrica**: Se e , então . - **Transitiva**: Se e , então . Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada: .

Passo 3

**Reflexividade**: Precisamos ver se para todo . Aplicando a definição: Como e são sempre verdadeiros, a relação é reflexiva.

Passo 4

**Antissimetria**: Suponha que e . Então: e Da primeira parte, e, da segunda, , o que implica . Da mesma forma, e implicam . Portanto, , o que mostra que a relação é antissimétrica.

Passo 5

**Transitividade**: Vamos considerar e . Isso significa: e Queremos mostrar que , ou seja: De e , pelo transitividade de nos números naturais, temos . De e , usando a transitividade de , temos . Assim, a relação é transitiva.

Passo 6

Como verificamos que a relação é reflexiva, antissimétrica e transitiva, concluímos que é uma relação de ordem.

Passo 7

Agora, vamos ver se essa ordem é total. Uma ordem é total se, para quaisquer dois elementos e , ou ou . Vamos pensar em um exemplo: considere e . - Para , precisaríamos que (verdade) e (verdade), então . - Para , precisaríamos que (falso) e (falso), então não. Agora, considere e : obviamente, ambos se relacionam. Mas se tomarmos e : - : e (verdade). - : (falso) e (falso). Neste caso, só uma direção é verdadeira, então a relação é total.

Resposta

A relação , onde , é uma relação de ordem e essa ordem é total.

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