Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total: , onde .
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma certa relação definida no conjunto dos números naturais, especificamente no conjunto dos pares de números naturais , é uma relação de ordem. Além disso, se for uma ordem, temos que dizer se é uma ordem total. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem, quais são suas propriedades, e como verificar se é total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem. Uma relação em um conjunto é chamada de relação de ordem se ela for reflexiva, antissimétrica e transitiva.
- **Reflexiva**: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo , temos .
- **Antissimétrica**: Se e , então .
- **Transitiva**: Se e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação dada: .
Passo 3
**Reflexividade**: Precisamos ver se para todo . Aplicando a definição:
Como e são sempre verdadeiros, a relação é reflexiva.
Passo 4
**Antissimetria**: Suponha que e . Então:
e
Da primeira parte, e, da segunda, , o que implica . Da mesma forma, e implicam . Portanto, , o que mostra que a relação é antissimétrica.
Passo 5
**Transitividade**: Vamos considerar e . Isso significa:
e
Queremos mostrar que , ou seja:
De e , pelo transitividade de nos números naturais, temos . De e , usando a transitividade de , temos . Assim, a relação é transitiva.
Passo 6
Como verificamos que a relação é reflexiva, antissimétrica e transitiva, concluímos que é uma relação de ordem.
Passo 7
Agora, vamos ver se essa ordem é total. Uma ordem é total se, para quaisquer dois elementos e , ou ou .
Vamos pensar em um exemplo: considere e .
- Para , precisaríamos que (verdade) e (verdade), então .
- Para , precisaríamos que (falso) e (falso), então não.
Agora, considere e : obviamente, ambos se relacionam.
Mas se tomarmos e :
- : e (verdade).
- : (falso) e (falso).
Neste caso, só uma direção é verdadeira, então a relação é total.
Resposta
A relação , onde , é uma relação de ordem e essa ordem é total.
Exercícios relacionados
Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por e . Justifique todas as suas respostas.
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(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de e ).
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