Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por e . Justifique todas as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o vetor pertence ao espaço vetorial gerado pelos vetores e . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente no estudo de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar como uma combinação dos vetores e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um vetor está no espaço vetorial gerado por outros vetores. Se pode ser escrita como uma combinação linear de e , ou seja, se existem escalares e tais que:
então pertence ao espaço vetorial gerado por e .

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar esses escalares e . Isso significa que precisamos resolver a equação:
Para fazer isso, precisamos saber quais são os vetores e . Sem essa informação específica, não podemos determinar exatamente se essa combinação é possível. Mas, de maneira geral, se e forem funções que, quando combinadas, podem gerar , então sim, pertence ao espaço vetorial gerado por eles.

Passo 4

Vamos supor que e sejam funções trigonométricas básicas, por exemplo, e . Nesse caso, tentar expressar como uma combinação linear dessas duas funções não seria possível, já que não pode ser escrita apenas com e constantes.

Passo 5

Por outro lado, se e incluírem funções que, juntas, podem gerar , como por exemplo, e , então definitivamente pertence ao espaço vetorial gerado por esses vetores.

Passo 6

Portanto, a inclusão de no espaço vetorial depende diretamente de quais são exatamente e . Sem essa informação, só podemos afirmar de maneira geral que pertence ao espaço vetorial gerado por e se existir uma combinação linear que satisfaça a equação mencionada.

Resposta

A inclusão do vetor no espaço vetorial gerado por e depende das funções específicas de e . Se houver uma combinação linear dos vetores e que resulte em , então pertence ao espaço vetorial gerado por eles.

Exercícios relacionados

Sejam e vetores LI e considere e . Escreva o vetor como combinação linear de .
Prove que é uma relação de ordem em . OBS: A presença de em nos diz que é menor ou igual a . Além disto, a ordem que inicialmente tínhamos em cada é preservada.
Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total: , onde .
Dadas as retas e e o ponto , determine a reta que passa por , intersecta em e em de tal modo que seja o ponto médio do segmento .
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de e ).