Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por
e
. Justifique todas as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o vetor
pertence ao espaço vetorial gerado pelos vetores
e
. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente no estudo de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar
como uma combinação dos vetores
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um vetor está no espaço vetorial gerado por outros vetores. Se
pode ser escrita como uma combinação linear de
e
, ou seja, se existem escalares
e
tais que:
então
pertence ao espaço vetorial gerado por
e
.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar esses escalares
e
. Isso significa que precisamos resolver a equação:
Para fazer isso, precisamos saber quais são os vetores
e
. Sem essa informação específica, não podemos determinar exatamente se essa combinação é possível. Mas, de maneira geral, se
e
forem funções que, quando combinadas, podem gerar
, então sim,
pertence ao espaço vetorial gerado por eles.
Passo 4
Vamos supor que
e
sejam funções trigonométricas básicas, por exemplo,
e
. Nesse caso, tentar expressar
como uma combinação linear dessas duas funções não seria possível, já que
não pode ser escrita apenas com
e constantes.
Passo 5
Por outro lado, se
e
incluírem funções que, juntas, podem gerar
, como por exemplo,
e
, então definitivamente
pertence ao espaço vetorial gerado por esses vetores.
Passo 6
Portanto, a inclusão de
no espaço vetorial depende diretamente de quais são exatamente
e
. Sem essa informação, só podemos afirmar de maneira geral que
pertence ao espaço vetorial gerado por
e
se existir uma combinação linear que satisfaça a equação mencionada.
Resposta
A inclusão do vetor
no espaço vetorial gerado por
e
depende das funções específicas de
e
. Se houver uma combinação linear dos vetores
e
que resulte em
, então
pertence ao espaço vetorial gerado por eles.
Exercícios relacionados
Sejam
e
vetores LI e considere
e
. Escreva o vetor
como combinação linear de
.
Prove que
é uma relação de ordem em
. OBS: A presença de
em
nos diz que
é menor ou igual a
. Além disto, a ordem que inicialmente tínhamos em cada
é preservada.
Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total:
, onde
.
Dadas as retas
e
e o ponto
, determine a reta que passa por
, intersecta
em
e
em
de tal modo que
seja o ponto médio do segmento
.
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de e
).
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de