Dadas as retas r1: 2 x-y=0 e r2: 2 x+y=4 e o ponto P=(3,0), determine a reta que passa por P, intersecta r1 em A e r2 em B de tal modo que P seja o ponto médio do segmento A B.
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de r1 e r2 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas dadas pelas equações e , e um ponto . A missão é encontrar uma reta que passa por , intercepta no ponto e no ponto , de modo que seja o ponto médio do segmento .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e propriedades de pontos médios. Vamos precisar entender como expressar as retas e em forma paramétrica e aplicar a condição de que é o ponto médio de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas y = 2x e x = t . Para isso, vamos resolver cada equação para uma das variáveis em função da outra e introduzir um parâmetro y = 2t .
Para r1(t): x = t y = 2t :
Podemos resolver para :
Agora, escolhemos , então:
Portanto, as equações paramétricas de são:

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para y = -2x + 4 . Resolver para x = s :
y = -2s + 4
Escolhemos r2(s): x = s y = -2s + 4 , então:
Assim, as equações paramétricas de são:

Passo 4

Sabemos que a reta que estamos procurando passa por , intercepta no ponto e no ponto , e que é o ponto médio de . Vamos chamar as coordenadas de e de e , respectivamente, com e sendo os parâmetros das retas e .

Passo 5

Como P = ( xA + xB2, yA + yB2 ) é o ponto médio de 3 = t + s2 , podemos usar a fórmula do ponto médio:
0 = 2t + (-2s + 4)2
Substituindo , , , e :

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 3 = t + s2 e 6 = t + s .
Primeira equação:
t + s = 6 (1)
Multiplicando ambos os lados por 2:
0 = 2t - 2s + 42
0 = 2t - 2s + 4
Segunda equação:
2t - 2s = -4
Multiplicando ambos os lados por 2:
t - s = -2 (2)
Simplificando:
Dividindo por 2:

Passo 7

Agora, temos o sistema:
t + s = 6 (1) t - s = -2 (2)
Vamos somar as duas equações para eliminar (t + s) + (t - s) = 6 + (-2) :
2t = 4
t = 2
2 + s = 6
Agora, substituímos s = 4 na equação (1):

Passo 8

Com A = (t, 2t) = (2, 4) e B = (s, -2s + 4) = (4, -8 + 4) = (4, -4) , podemos encontrar as coordenadas de e :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, temos os pontos m = yB - yAxB - xA = -4 - 44 - 2 = -82 = -4 , e . Queremos encontrar a equação da reta que passa por , e .
Para isso, podemos calcular o coeficiente angular da reta :

Passo 10

Com o coeficiente angular y - yP = m(x - xP) e passando pelo ponto y - 0 = -4(x - 3) , usamos a forma da equação da reta:
y = -4x + 12
Substituindo:

Resposta

A reta que passa por y = -4x + 12 , intercepta em e em , de modo que é o ponto médio de , é dada por:

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