Dadas as retas
e
e o ponto
, determine a reta que passa por
, intersecta
em
e
em
de tal modo que
seja o ponto médio do segmento
.
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de
e
).
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas dadas pelas equações
e
, e um ponto
. A missão é encontrar uma reta que passa por
, intercepta
no ponto
e
no ponto
, de modo que
seja o ponto médio do segmento
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e propriedades de pontos médios. Vamos precisar entender como expressar as retas
e
em forma paramétrica e aplicar a condição de que
é o ponto médio de
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas
e
. Para isso, vamos resolver cada equação para uma das variáveis em função da outra e introduzir um parâmetro
.
Para
:
Podemos resolver para :
Podemos resolver para
Agora, escolhemos
, então:
Portanto, as equações paramétricas de
são:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Resolver para
:
Escolhemos
, então:
Assim, as equações paramétricas de
são:
Passo 4
Sabemos que a reta que estamos procurando passa por
, intercepta
no ponto
e
no ponto
, e que
é o ponto médio de
. Vamos chamar as coordenadas de
e
de
e
, respectivamente, com
e
sendo os parâmetros das retas
e
.
Passo 5
Como
é o ponto médio de
, podemos usar a fórmula do ponto médio:
Substituindo
,
,
,
e
:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Simplificando:
Dividindo por 2:
Passo 7
Agora, temos o sistema:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 8
Com
e
, podemos encontrar as coordenadas de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, temos os pontos
,
e
. Queremos encontrar a equação da reta que passa por
,
e
.
Para isso, podemos calcular o coeficiente angular
da reta
:
Passo 10
Com o coeficiente angular
e passando pelo ponto
, usamos a forma da equação da reta:
Substituindo:
Resposta
A reta que passa por
, intercepta
em
e
em
, de modo que
é o ponto médio de
, é dada por:
Exercícios relacionados
Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total:
, onde
.
Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por
e
. Justifique todas as suas respostas.
Se
, determine os valores de
de modo que os vetores
e
sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos.
Seja
um conjunto parcialmente ordenado. Determine a relação de recobrimento da ordem parcial
no conjunto
dos divisores de 12.