Dadas as retas e e o ponto , determine a reta que passa por , intersecta em e em de tal modo que seja o ponto médio do segmento .
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de e ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas dadas pelas equações e , e um ponto . A missão é encontrar uma reta que passa por , intercepta no ponto e no ponto , de modo que seja o ponto médio do segmento .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e propriedades de pontos médios. Vamos precisar entender como expressar as retas e em forma paramétrica e aplicar a condição de que é o ponto médio de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas e . Para isso, vamos resolver cada equação para uma das variáveis em função da outra e introduzir um parâmetro .
Para :
Podemos resolver para :
Agora, escolhemos , então:
Portanto, as equações paramétricas de são:

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para . Resolver para :
Escolhemos , então:
Assim, as equações paramétricas de são:

Passo 4

Sabemos que a reta que estamos procurando passa por , intercepta no ponto e no ponto , e que é o ponto médio de . Vamos chamar as coordenadas de e de e , respectivamente, com e sendo os parâmetros das retas e .

Passo 5

Como é o ponto médio de , podemos usar a fórmula do ponto médio:
Substituindo , , , e :

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Simplificando:
Dividindo por 2:

Passo 7

Agora, temos o sistema:
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 8

Com e , podemos encontrar as coordenadas de e :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, temos os pontos , e . Queremos encontrar a equação da reta que passa por , e .
Para isso, podemos calcular o coeficiente angular da reta :

Passo 10

Com o coeficiente angular e passando pelo ponto , usamos a forma da equação da reta:
Substituindo:

Resposta

A reta que passa por , intercepta em e em , de modo que é o ponto médio de , é dada por:

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