Se , determine os valores de de modo que os vetores e sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois vetores, com norma 3 e com norma 5. Precisamos encontrar os valores de que fazem com que os vetores e sejam (a) perpendiculares e (b) paralelos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar para perpendicularidade e condições de proporcionalidade para paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde queremos que os vetores e sejam perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Vamos calcular esse produto:

Passo 3

Expandindo o produto escalar:
Sabemos que , então os termos de se cancelam:

Passo 4

Substituindo os valores das normas:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), onde queremos que os vetores sejam paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um escalar tal que:
Isso nos leva a uma relação que podemos resolver para .

Resposta

(a) Os valores de são e .
(b) Os valores de são e .

Exercícios relacionados

Dadas as retas e e o ponto , determine a reta que passa por , intersecta em e em de tal modo que seja o ponto médio do segmento .
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de e ).
Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total: , onde .
Seja um conjunto parcialmente ordenado. Determine a relação de recobrimento da ordem parcial no conjunto dos divisores de 12.
Sejam e três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é . Sabendo que e , calcule .