Se |u|=3 e|v|=5, determine os valores de x de modo que os vetores u+x v e u-x v sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois vetores, u com norma 3 e v com norma 5. Precisamos encontrar os valores de x que fazem com que os vetores u + xv e u - xv sejam (a) perpendiculares e (b) paralelos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar para perpendicularidade e condições de proporcionalidade para paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde queremos que os vetores u + xv e u - xv sejam perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Vamos calcular esse produto:
(u + xv) cdot (u - xv) = 0

Passo 3

Expandindo o produto escalar:
u cdot u - xu cdot v + xv cdot u - x^2v cdot v = 0
Sabemos que u cdot v = v cdot u, então os termos de x se cancelam:
|u|^2 - x^2|v|^2 = 0

Passo 4

Substituindo os valores das normas:
3^2 - x^2 cdot 5^2 = 0 9 - 25x^2 = 0
Resolvendo para x:
25x^2 = 9 x^2 = 925 x = pm 35

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), onde queremos que os vetores sejam paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um escalar k tal que:
u + xv = k(u - xv)
Isso nos leva a uma relação que podemos resolver para x.

Resposta

(a) Os valores de x são x = 35 e x = -35.
(b) Os valores de x são x = 35 e x = -35.

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