Sejam e vetores LI e considere e . Escreva o vetor como combinação linear de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores , e que são linearmente independentes (LI). Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. A gente também tem dois vetores definidos em termos desses: e . O que a questão quer é que a gente escreva o vetor como uma combinação linear de e . Ou seja, encontrar números e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando as coordenadas dos vetores e resolver para e .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de e na equação :
Agora, vamos distribuir os escalares e :

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes de , e :
Para que essa equação seja verdadeira, os coeficientes dos vetores correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Começamos pela segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora que temos , substituímos de volta na expressão :

Passo 5

Com os valores de e encontrados, podemos escrever o vetor como combinação linear de e :

Resposta

O vetor pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma:

Exercícios relacionados

Prove que é uma relação de ordem em . OBS: A presença de em nos diz que é menor ou igual a . Além disto, a ordem que inicialmente tínhamos em cada é preservada.
Os vetores e formam uma base de ? Justifique.
Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por e . Justifique todas as suas respostas.
Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total: , onde .