Sejam e vetores LI e considere e . Escreva o vetor como combinação linear de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores , e que são linearmente independentes (LI). Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. A gente também tem dois vetores definidos em termos desses: e . O que a questão quer é que a gente escreva o vetor como uma combinação linear de e . Ou seja, encontrar números e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando as coordenadas dos vetores e resolver para e .
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões de e na equação :
Agora, vamos distribuir os escalares e :
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes de , e :
Para que essa equação seja verdadeira, os coeficientes dos vetores correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Começamos pela segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora que temos , substituímos de volta na expressão :
Passo 5
Com os valores de e encontrados, podemos escrever o vetor como combinação linear de e :
Resposta
O vetor pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma: