Sejam e vetores LI e considere e . Escreva o vetor como combinação linear de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores , e que são linearmente independentes (LI). Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. A gente também tem dois vetores definidos em termos desses: e . O que a questão quer é que a gente escreva o vetor como uma combinação linear de e . Ou seja, encontrar números e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando as coordenadas dos vetores e resolver para e .
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões de e na equação :
Agora, vamos distribuir os escalares e :
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes de , e :
Para que essa equação seja verdadeira, os coeficientes dos vetores correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar s e t. Começamos pela segunda equação:
s + t = 15 Rightarrow s = 15 - t
Agora, substituímos s = 15 - t na primeira equação:
2(15 - t) - t = 9 30 - 2t - t = 9 30 - 3t = 9 -3t = 9 - 30 -3t = -21 t = 7
Agora que temos t = 7, substituímos de volta na expressão s = 15 - t:
s = 15 - 7 s = 8
Passo 5
Com os valores de s e t encontrados, podemos escrever o vetor w como combinação linear de u e v:
w = su + tv = 8u + 7v
Resposta
O vetor w pode ser escrito como combinação linear de u e v da seguinte forma: