Sejam a, b e c vetores LI e considere u=2 a+b-c e v=-a+b+2 c. Escreva o vetor w=9 a+15 b+6 c como combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores a, b e c que são linearmente independentes (LI). Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. A gente também tem dois vetores definidos em termos desses: u = 2a + b - c e v = -a + b + 2c. O que a questão quer é que a gente escreva o vetor w = 9a + 15b + 6c como uma combinação linear de u e v. Ou seja, encontrar números s e t tais que:
w = su + tv
Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando as coordenadas dos vetores e resolver para s e t.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de u e v na equação w = su + tv:
9a + 15b + 6c = s(2a + b - c) + t(-a + b + 2c)
Agora, vamos distribuir os escalares s e t:
9a + 15b + 6c = 2sa + sb - sc - ta + tb + 2tc

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes de a, b e c:
9a + 15b + 6c = (2s - t)a + (s + t)b + (-s + 2t)c
Para que essa equação seja verdadeira, os coeficientes dos vetores correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2s - t = 9 s + t = 15 -s + 2t = 6

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar s e t. Começamos pela segunda equação:
s + t = 15 Rightarrow s = 15 - t
Agora, substituímos s = 15 - t na primeira equação:
2(15 - t) - t = 9 30 - 2t - t = 9 30 - 3t = 9 -3t = 9 - 30 -3t = -21 t = 7
Agora que temos t = 7, substituímos de volta na expressão s = 15 - t:
s = 15 - 7 s = 8

Passo 5

Com os valores de s e t encontrados, podemos escrever o vetor w como combinação linear de u e v:
w = su + tv = 8u + 7v

Resposta

O vetor w pode ser escrito como combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = 8,u + 7,v

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