Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total: (N times N, preccurlyeq), onde (a, b) preccurlyeq(c, d) Long<=ftrightarrow a <= c.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver um exercício sobre relações de ordem. A gente tem que verificar se uma certa relação é uma relação de ordem e, se for, ver se é uma ordem total. A relação que vamos analisar é definida no conjunto dos pares de números naturais, , e diz que se e somente se . Para resolver isso, a gente precisa entender o que é uma relação de ordem e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem. Uma relação de ordem precisa ser reflexiva, antisimétrica e transitiva. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação .

Passo 3

Reflexividade: Dizemos que uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, para qualquer par em , precisamos que .
Como significa que , e sabemos que qualquer número é sempre menor ou igual a ele mesmo, a reflexividade está presente.

Passo 4

Antissimetria: A relação é antissimétrica se, sempre que e , então necessariamente .
Vamos analisar: implica que e implica que . Juntas, essas duas desigualdades significam que .
No entanto, isso não nos diz nada sobre e . Mesmo que , e podem ser diferentes. Portanto, podemos ter mesmo que e . Logo, a antissimetria não está presente.

Passo 5

Transitividade: Embora já tenhamos visto que a antissimetria não é satisfeita, vamos verificar a transitividade para completar a análise. A relação é transitiva se, sempre que e , então .
Isso significa que se e , então , o que é verdadeiro. Portanto, a transitividade está presente.

Resposta

A relação , onde , não é uma relação de ordem porque não satisfaz a propriedade de antissimetria.

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