Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total:
, onde
.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver um exercício sobre relações de ordem. A gente tem que verificar se uma certa relação é uma relação de ordem e, se for, ver se é uma ordem total. A relação que vamos analisar é definida no conjunto dos pares de números naturais,
, e diz que
se e somente se
. Para resolver isso, a gente precisa entender o que é uma relação de ordem e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem. Uma relação de ordem precisa ser reflexiva, antisimétrica e transitiva. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação
.
Passo 3
Reflexividade: Dizemos que uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, para qualquer par
em
, precisamos que
.
Como
significa que
, e sabemos que qualquer número é sempre menor ou igual a ele mesmo, a reflexividade está presente.
Passo 4
Antissimetria: A relação é antissimétrica se, sempre que
e
, então necessariamente
.
Vamos analisar:
implica que
e
implica que
. Juntas, essas duas desigualdades significam que
.
No entanto, isso não nos diz nada sobre
e
. Mesmo que
,
e
podem ser diferentes. Portanto, podemos ter
mesmo que
e
. Logo, a antissimetria não está presente.
Passo 5
Transitividade: Embora já tenhamos visto que a antissimetria não é satisfeita, vamos verificar a transitividade para completar a análise. A relação é transitiva se, sempre que
e
, então
.
Isso significa que se
e
, então
, o que é verdadeiro. Portanto, a transitividade está presente.
Resposta
A relação
, onde
, não é uma relação de ordem porque não satisfaz a propriedade de antissimetria.