Verifique se é base, sabendo que e que é base

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é verificar se os vetores , e formam uma base no espaço tridimensional. Isso tá ligado ao conteúdo de Bases e Dependência Linear na matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar checar se esses vetores são linearmente independentes, o que geralmente fazemos calculando o determinante de uma matriz formada por eles.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever each vetor , e em termos da base canônica , e :

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores , e :

Passo 4

Para verificar se esses vetores são linearmente independentes (e, portanto, formam uma base), calculamos o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Vamos calcular o determinante:

Resposta

Como o determinante da matriz é zero, os vetores , e não formam uma base no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Escreva, se possível, como combinação linear de e :
e ;
Seja uma base ortonormal. Calcule nos seguintes casos.
(a) .
(b) .
Para cada uma das relações abaixo, determine se é uma relação de ordem. Se for relação de ordem, determine se é uma ordem total: , onde .
Sejam uma base, e .
(a) Mostre que é base.
(b) Calcule para que e sejam LD.