Verifique se é base, sabendo que f1=e1+e2+e3, f2=e1+e 2, f3=e3 e que (e1, e2, e3) é base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é verificar se os vetores , e formam uma base no espaço tridimensional. Isso tá ligado ao conteúdo de Bases e Dependência Linear na matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar checar se esses vetores são linearmente independentes, o que geralmente fazemos calculando o determinante de uma matriz formada por eles.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever each vetor f1 = e1 + e2 + e3 = 1 1 1 , f2 = e1 + e2 = 1 1 0 , f3 = e3 = 0 0 1 , e em termos da base canônica , e :
Passo 3
Agora, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , e :
Passo 4
Para verificar se esses vetores são linearmente independentes (e, portanto, formam uma base), calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 1 & 0 0 & 1 - 1 cdot 1 & 0 1 & 1 + 0 cdot 1 & 1 1 & 0 . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.