Verifique se (f1, f2, f3) é base, sabendo que f1=e1+e2+e3, f2=e1+e 2, f3=e3 e que (e1, e2, e3) é base

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é verificar se os vetores , e formam uma base no espaço tridimensional. Isso tá ligado ao conteúdo de Bases e Dependência Linear na matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar checar se esses vetores são linearmente independentes, o que geralmente fazemos calculando o determinante de uma matriz formada por eles.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever each vetor f1 = e1 + e2 + e3 = 1 1 1 , f2 = e1 + e2 = 1 1 0 , f3 = e3 = 0 0 1 , e em termos da base canônica , e :

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , e :

Passo 4

Para verificar se esses vetores são linearmente independentes (e, portanto, formam uma base), calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 1 & 0 0 & 1 - 1 cdot 1 & 0 1 & 1 + 0 cdot 1 & 1 1 & 0 . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Vamos calcular o determinante:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 = 1 cdot 1 - 1 cdot 1 + 0 = 1 - 1 + 0 = 0

Resposta

Como o determinante da matriz é zero, os vetores , e não formam uma base no espaço tridimensional.

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