Sejam uma base, f1=2 e1-e2+e3, f2=e2-e3 e f3=3 e3.
(a) Mostre que F=(f1, f2, f3) é base.
(b) Calcule m para que (0, m, 1)E e (0,1,-1)F sejam LD.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes: na primeira, precisa mostrar que o conjunto é uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear sobre bases e combinações lineares. Na segunda parte, vamos calcular o valor de para que dois vetores, um na base e outro na base , sejam linearmente dependentes.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Para mostrar que é uma base, a gente precisa verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram o espaço. Uma maneira prática de fazer isso é montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
Passo 3
Primeiro, vamos escrever os vetores f1 = 2e1 - e2 + e3 em termos da base f2 = e2 - e3 :
f3 = 3e3
A = 2 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 3
Agora, montamos a matriz com essas coordenadas:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante para uma matriz 3x3 é dado por:
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, é uma base.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o valor de (0, m, 1)E = lambda (0,1,-1)F tal que os vetores e sejam linearmente dependentes. Isso significa que existe um escalar tal que:
Primeiro, precisamos expressar na base .
Passo 6
Para isso, vamos usar a relação entre as bases. Sabemos que: