Sejam uma base, e .
(a) Mostre que é base.
(b) Calcule para que e sejam LD.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes: na primeira, precisa mostrar que o conjunto é uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear sobre bases e combinações lineares. Na segunda parte, vamos calcular o valor de para que dois vetores, um na base e outro na base , sejam linearmente dependentes.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Para mostrar que é uma base, a gente precisa verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram o espaço. Uma maneira prática de fazer isso é montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
Passo 3
Primeiro, vamos escrever os vetores em termos da base :
Agora, montamos a matriz com essas coordenadas:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante para uma matriz 3x3 é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, é uma base.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o valor de tal que os vetores e sejam linearmente dependentes. Isso significa que existe um escalar tal que:
Primeiro, precisamos expressar na base .
Passo 6
Para isso, vamos usar a relação entre as bases. Sabemos que:
Podemos escrever como:
Então, em termos da base , temos:
Passo 7
Voltando à equação da dependência linear:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, . Da terceira, . Portanto, substituindo: