Sejam E=(e1, e2, e3) uma base, f1=2 e1-e2+e3, f2=e2-e3 e f3=3 e3.
(a) Mostre que F=(f1, f2, f3) é base.
(b) Calcule m para que (0, m, 1)E e (0,1,-1)F sejam LD.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes: na primeira, precisa mostrar que o conjunto é uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear sobre bases e combinações lineares. Na segunda parte, vamos calcular o valor de para que dois vetores, um na base e outro na base , sejam linearmente dependentes.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Para mostrar que é uma base, a gente precisa verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram o espaço. Uma maneira prática de fazer isso é montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.

Passo 3

Primeiro, vamos escrever os vetores f1 = 2e1 - e2 + e3 em termos da base f2 = e2 - e3 :
f3 = 3e3
A = 2 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 3
Agora, montamos a matriz com essas coordenadas:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante para uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = 2(1 cdot 3 - 0 cdot (-1)) - 0(-1 cdot 3 - 0 cdot 1) + 0(-1 cdot (-1) - 1 cdot 1) = 2(3) = 6
Aplicando isso à nossa matriz:
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, é uma base.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o valor de (0, m, 1)E = lambda (0,1,-1)F tal que os vetores e sejam linearmente dependentes. Isso significa que existe um escalar tal que:
Primeiro, precisamos expressar na base .

Passo 6

Para isso, vamos usar a relação entre as bases. Sabemos que:
f1 = 2e1 - e2 + e3
f2 = e2 - e3
f3 = 3e3
Podemos escrever 0f1 + 1f2 + (-1)f3 = f2 - f3 = (e2 - e3) - 3e3 = e2 - 4e3 como:
(0,1,-1)F = (0, 1, -4)E
Então, em termos da base , temos:

Passo 7

Voltando à equação da dependência linear:
(0, m, 1)E = lambda (0,1,-4)E
Isso nos dá o sistema de equações:
0 = 0 cdot lambda m = 1 cdot lambda 1 = -4 cdot lambda
Da segunda equação, m = -14 . Da terceira, . Portanto, substituindo:

Resposta

O valor de é .

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