Escreva, se possível, w como combinação linear de v1, v2 e v3 :
v1=(1,1), v2=(-1,1), v3=(3,0) e w=(1,-4);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever o vetor w = (1, -4) como uma combinação linear dos vetores v1 = (1, 1), v2 = (-1, 1) e v3 = (3, 0). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear e sistemas de equações. Vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que combinam esses vetores para formar w.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar números a, b e c tais que:
w = av1 + bv2 + cv3
Substituindo os vetores, temos:
(1, -4) = a(1, 1) + b(-1, 1) + c(3, 0)

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes:
(1, -4) = (a, a) + (-b, b) + (3c, 0)
Agora, somamos as componentes correspondentes:
(1, -4) = (a - b + 3c, a + b)

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações:
a - b + 3c = 1 a + b = -4
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.

Passo 5

Da segunda equação, podemos expressar a em termos de b:
a = -4 - b
Agora, substituímos a na primeira equação:
(-4 - b) - b + 3c = 1

Passo 6

Simplificando a equação:
-4 - 2b + 3c = 1
Vamos isolar os termos:
-2b + 3c = 5
Ou seja:
2b - 3c = -5

Passo 7

Agora, temos uma equação com duas variáveis ( b e c), mas precisamos de mais uma equação para resolver completamente. Notamos que temos três vetores no espaço bidimensional, o que pode indicar que não seja possível representar w como combinação linear deles. Vamos verificar isso.

Passo 8

Vamos tentar encontrar um valor para c que satisfaça a equação 2b - 3c = -5. Por exemplo, se escolhermos c = 1:
2b - 3(1) = -5 Rightarrow 2b - 3 = -5 Rightarrow 2b = -2 Rightarrow b = -1
Então, a = -4 - (-1) = -3.

Passo 9

Vamos verificar se esses valores satisfazem o sistema original:
a - b + 3c = -3 - (-1) + 3(1) = -3 + 1 + 3 = 1 a + b = -3 + (-1) = -4
Ambas as equações são satisfeitas, então encontramos uma solução.

Resposta

Sim, é possível escrever w como combinação linear de v1, v2 e v3:
w = -3v1 - v2 + v3

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