Escreva, se possível, como combinação linear de e : e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear e sistemas de equações. Vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que combinam esses vetores para formar .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar números , e tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, somamos as componentes correspondentes:
Passo 4
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 5
Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos na primeira equação:
Passo 6
Simplificando a equação:
Vamos isolar os termos:
Ou seja:
Passo 7
Agora, temos uma equação com duas variáveis ( e ), mas precisamos de mais uma equação para resolver completamente. Notamos que temos três vetores no espaço bidimensional, o que pode indicar que não seja possível representar como combinação linear deles. Vamos verificar isso.
Passo 8
Vamos tentar encontrar um valor para que satisfaça a equação . Por exemplo, se escolhermos :
Então, .
Passo 9
Vamos verificar se esses valores satisfazem o sistema original:
Ambas as equações são satisfeitas, então encontramos uma solução.
Resposta
Sim, é possível escrever como combinação linear de , e :