Prove que a relação
em
definida por
é uma relação de ordem. Esta ordem parcial é total? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a relação
definida em
(os números naturais) por
se e somente se existe um número natural
tal que
é uma relação de ordem. Além disso, temos que dizer se essa ordem é parcial ou total. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem, quais são as propriedades que ela precisa ter (reflexiva, antissimétrica e transitiva) e depois verificar se essa relação
satisfaz essas propriedades. Também vamos precisar saber a diferença entre ordem parcial e total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma relação de ordem precisa satisfazer três propriedades:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
, . - Antissimétrica: Se
e , então . - Transitiva: Se
e , então .
Vamos verificar se a relação
definida por
tal que
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Reflexiva: Precisamos ver se todo número natural
está relacionado consigo mesmo, ou seja, se existe um
tal que
.
Vamos tentar encontrar
. Se
, então
. Portanto, para todo
, existe
que satisfaz
. Assim,
é reflexiva.
Passo 4
Antissimétrica: Agora, vamos supor que
e
. Isso significa que existem
e
em
tais que:
Substituindo
da segunda equação na primeira:
Agora, dividindo ambos os lados por
(não é zero), temos:
A única potência de 2 que dá 1 é
, então
. Como
e
são números naturais não negativos, isso implica que
. Assim,
. Portanto,
. Logo,
é antissimétrica.
Passo 5
Transitiva: Vamos supor que
e
. Ou seja, existem
e
em
tais que:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Como
é um número natural (soma de naturais é natural), temos que existe um
tal que
. Portanto,
. Assim,
é transitiva.
Passo 6
Como verificamos que a relação
é reflexiva, antissimétrica e transitiva, podemos concluir que
é de fato uma relação de ordem.
Passo 7
Agora, precisamos determinar se essa ordem é total. Uma ordem é total se, para quaisquer dois elementos
e
, ou
ou
(ou ambos). Ou seja, qualquer par de elementos está comparado.
Vamos pensar em dois números naturais
e
. Para que seja uma ordem total, deve existir
ou
tais que
ou
.
Por exemplo, se pegarmos
e
, temos que
, então
.
Mas se pegarmos
e
, não existe nenhum
em
tal que
ou
. Ou seja,
e
não estão relacionados por
.
Isso mostra que nem todo par de elementos está comparado, então a ordem não é total.
Resposta
A relação
definida por
tal que
é uma relação de ordem em
, mas essa ordem não é total.