Prove que a relação em definida por é uma relação de ordem. Esta ordem parcial é total? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a relação definida em (os números naturais) por se e somente se existe um número natural tal que é uma relação de ordem. Além disso, temos que dizer se essa ordem é parcial ou total. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem, quais são as propriedades que ela precisa ter (reflexiva, antissimétrica e transitiva) e depois verificar se essa relação satisfaz essas propriedades. Também vamos precisar saber a diferença entre ordem parcial e total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma relação de ordem precisa satisfazer três propriedades:
Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo , .
Antissimétrica: Se e , então .
Transitiva: Se e , então .
Vamos verificar se a relação definida por tal que satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Reflexiva: Precisamos ver se todo número natural está relacionado consigo mesmo, ou seja, se existe um tal que .
Vamos tentar encontrar . Se , então . Portanto, para todo , existe que satisfaz . Assim, é reflexiva.
Passo 4
Antissimétrica: Agora, vamos supor que e . Isso significa que existem e em tais que:
Substituindo da segunda equação na primeira:
Agora, dividindo ambos os lados por (não é zero), temos:
A única potência de 2 que dá 1 é , então . Como e são números naturais não negativos, isso implica que . Assim, . Portanto, . Logo, é antissimétrica.
Passo 5
Transitiva: Vamos supor que e . Ou seja, existem e em tais que:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Como é um número natural (soma de naturais é natural), temos que existe um tal que . Portanto, . Assim, é transitiva.
Passo 6
Como verificamos que a relação é reflexiva, antissimétrica e transitiva, podemos concluir que é de fato uma relação de ordem.
Passo 7
Agora, precisamos determinar se essa ordem é total. Uma ordem é total se, para quaisquer dois elementos e , ou ou (ou ambos). Ou seja, qualquer par de elementos está comparado.
Vamos pensar em dois números naturais e . Para que seja uma ordem total, deve existir ou tais que ou .
Por exemplo, se pegarmos e , temos que , então .
Mas se pegarmos e , não existe nenhum em tal que ou . Ou seja, e não estão relacionados por .
Isso mostra que nem todo par de elementos está comparado, então a ordem não é total.
Resposta
A relação definida por tal que é uma relação de ordem em , mas essa ordem não é total.