Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
3. Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(a) Se
e
são ambas limitadas, então
é limitada.
3. Em cada uma das seguintes afirmações,
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a soma de duas sequências limitadas também é limitada. Estamos falando sobre sequências de números reais que não “crescem” indefinidamente. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma sequência ser limitada e como somar essas sequências afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que, para todo
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Em outras palavras:
O mesmo vale para a sequência
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma das duas sequências:
.
Sabemos que:
Como
e
são limitadas, existem
e
tais que:
Então:
Isso mostra que a sequência
também é limitada, pois seu valor absoluto é sempre menor ou igual a
.
Resposta
Verdadeiro. Se
e
são limitadas, então a sequência
também é limitada, pois seu valor absoluto nunca excede a soma dos limites de
e
.