Verifique se cada uma das seguintes sequências a_n, n=1, infinito converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
3. Em cada uma das seguintes afirmações, (a_n)_{n=1}^\infty e (b_n)_{n=1}^\infty representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(a) Se a_n e b_n são ambas limitadas, então a_n + b_n é limitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a soma de duas sequências limitadas também é limitada. Estamos falando sobre sequências de números reais que não “crescem” indefinidamente. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma sequência ser limitada e como somar essas sequências afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que, para todo , o valor absoluto de é menor ou igual a . Em outras palavras:
O mesmo vale para a sequência .

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma das duas sequências: .
Sabemos que:
Como e são limitadas, existem e tais que:
Então:
Isso mostra que a sequência também é limitada, pois seu valor absoluto é sempre menor ou igual a .

Resposta

Verdadeiro. Se e são limitadas, então a sequência também é limitada, pois seu valor absoluto nunca excede a soma dos limites de e .

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