Em cada uma das seguintes afirmações, (a_n)_{n=1}^\infty e (b_n)_{n=1}^\infty representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
© Se a_n e b_n são ambas limitadas, então a_n . b_n é limitada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com sequências de números reais, especificamente duas sequências e , que são ambas limitadas. A afirmação diz que, se essas duas sequências são limitadas, então a sequência formada pelo termo a termo também é limitada. Vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como isso se aplica ao produto de duas sequências limitadas.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é chamada de limitada se existe um número real tal que, para todo , o valor absoluto de é menor ou igual a . Em símbolos:
Isso significa que os termos da sequência não “escapam” desse intervalo definido por .

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre o produto de duas sequências limitadas. Se é limitada por e é limitada por , queremos mostrar que também é limitada. Para isso, vamos usar a propriedade dos números reais que nos diz que o produto de dois números limitados é, por sua vez, limitado.

Passo 4

Aplicando essa propriedade, se e para todo , então o produto será:
Isso mostra que a sequência está limitada pelo produto , ou seja, existe um limite superior para os termos dessa sequência.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se e são ambas sequências limitadas, então a sequência também é limitada.

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