Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
© Se
e
são ambas limitadas, então
é limitada.
© Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com sequências de números reais, especificamente duas sequências
e
, que são ambas limitadas. A afirmação diz que, se essas duas sequências são limitadas, então a sequência formada pelo termo a termo
também é limitada. Vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como isso se aplica ao produto de duas sequências limitadas.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência
é chamada de limitada se existe um número real
tal que, para todo
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Em símbolos:
Isso significa que os termos da sequência não “escapam” desse intervalo definido por
.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre o produto de duas sequências limitadas. Se
é limitada por
e
é limitada por
, queremos mostrar que
também é limitada. Para isso, vamos usar a propriedade dos números reais que nos diz que o produto de dois números limitados é, por sua vez, limitado.
Passo 4
Aplicando essa propriedade, se
e
para todo
, então o produto
será:
Isso mostra que a sequência
está limitada pelo produto
, ou seja, existe um limite superior para os termos dessa sequência.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
e
são ambas sequências limitadas, então a sequência
também é limitada.
Exercícios relacionados
Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(i)
(i)
Considere a superfície parametrizada por
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto em que
.
Resolva as integrais: