Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(i)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai descobrir qual é o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Uma sequência converge se, conforme
cresce indefinidamente, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um número específico, que chamamos de limite. Se não há esse número para o qual os termos se aproximam, a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa sequência:
. Para encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador pelo maior expoente presente, que no caso é
.
Passo 4
Dividindo cada termo por
, temos:
À medida que
cresce para o infinito, os termos
e
tendem a zero.
Passo 5
Então, simplificando os termos que tendem a zero, ficamos com:
Aqui percebemos que a expressão tende para o infinito positivo, já que estamos dividindo um número positivo por algo que se aproxima de zero a partir de valores positivos.
Passo 6
Portanto, concluímos que a sequência não se aproxima de nenhum número específico, mas sim cresce sem limites à medida que
aumenta. Isso significa que a sequência diverge.
Resposta
A sequência
diverge.