Verifique se cada uma das seguintes sequências a_n, n=1, infinito converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(i) a_n = (2 n^2 - 1) / (n + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai descobrir qual é o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Uma sequência converge se, conforme cresce indefinidamente, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um número específico, que chamamos de limite. Se não há esse número para o qual os termos se aproximam, a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa sequência: . Para encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito, vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador pelo maior expoente presente, que no caso é .

Passo 4

Dividindo cada termo por , temos:
À medida que cresce para o infinito, os termos e tendem a zero.

Passo 5

Então, simplificando os termos que tendem a zero, ficamos com:
Aqui percebemos que a expressão tende para o infinito positivo, já que estamos dividindo um número positivo por algo que se aproxima de zero a partir de valores positivos.

Passo 6

Portanto, concluímos que a sequência não se aproxima de nenhum número específico, mas sim cresce sem limites à medida que aumenta. Isso significa que a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge.

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