Considere a superfície parametrizada por
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto em que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente a uma superfície parametrizada no ponto onde e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e produto vetorial, para determinar o vetor normal ao plano e assim obter a equação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na superfície quando e . A parametrização da superfície é:
Substituindo os valores de e :
Calculando cada componente:
Portanto:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , que são e , respectivamente.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Agora, vamos calcular e no ponto .
Primeiro, calculamos , , e .
Substituindo:

Passo 4

Com as derivadas parciais e calculadas, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial entre e :
Vamos calcular isso:
O produto vetorial é dado por:
Simplificando cada componente:
Sabendo que :

Passo 5

Agora que temos o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação do plano:
Onde . Vamos expandir isso:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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© Se e são ambas limitadas, então é limitada.