Considere a superfície parametrizada por
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente a uma superfície parametrizada no ponto onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e produto vetorial, para determinar o vetor normal ao plano e assim obter a equação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na superfície
quando
e
. A parametrização da superfície é:
Substituindo os valores de
e
:
Calculando cada componente:
Portanto:
Então, o ponto
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
, que são
e
, respectivamente.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Agora, vamos calcular
e
no ponto
.
Primeiro, calculamos
,
,
e
.
Substituindo:
Passo 4
Com as derivadas parciais
e
calculadas, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial entre
e
:
Vamos calcular isso:
O produto vetorial é dado por:
Simplificando cada componente:
Sabendo que
:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal
e o ponto
, podemos usar a equação do plano:
Onde
. Vamos expandir isso:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é:
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converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(b)
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(i)
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Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
© Se e
são ambas limitadas, então
é limitada.
© Se