Considere a superfície parametrizada por
r(u, v)=(2 cos (u) cos (v), 2 sen(u) cos (v), 2 sen(v)), 0 <= u <= pi2, 0 <= v <= pi2
Determine a equação do plano tangente à superfície S no ponto em que u=pi / 4 e v=pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente a uma superfície parametrizada no ponto onde e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e produto vetorial, para determinar o vetor normal ao plano e assim obter a equação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na superfície r(u, v) = (2 cos(u) cos(v), 2 sin(u) cos(v), 2 sin(v)) quando r(pi4, pi3) = (2 cos(pi4) cos(pi3), 2 sin(pi4) cos(pi3), 2 sin(pi3)) e cos(pi4) = raiz22, sin(pi4) = raiz22, cos(pi3) = 12, sin(pi3) = raiz32 . A parametrização da superfície é:
r(pi4, pi3) = (2 cdot raiz22 cdot 12, 2 cdot raiz22 cdot 12, 2 cdot raiz32) = (raiz22, raiz22, raiz3)
Substituindo os valores de e :
Calculando cada componente:
Portanto:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função ru = partial rpartial u = (-2 sin(u) cos(v), 2 cos(u) cos(v), 0) em relação a rv = partial rpartial v = (-2 cos(u) sin(v), -2 sin(u) sin(v), 2 cos(v)) e ru(pi4, pi3) = (-2 cdot raiz22 cdot 12, 2 cdot raiz22 cdot 12, 0) = (-raiz22, raiz22, 0) , que são rv(pi4, pi3) = (-2 cdot raiz22 cdot raiz32, -2 cdot raiz22 cdot raiz32, 2 cdot 12) = (-raiz62, -raiz62, 1) e , respectivamente.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Agora, vamos calcular e no ponto .
Primeiro, calculamos , , e .
Substituindo:

Passo 4

Com as derivadas parciais n = ru times rv e ru = (-raiz22, raiz22, 0), rv = (-raiz62, -raiz62, 1) calculadas, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial entre n = ( (raiz22 cdot 1 - 0 cdot (-raiz62)), (0 cdot (-raiz62) - (-raiz22) cdot 1), (-raiz22 cdot (-raiz62) - raiz22 cdot (-raiz62)) ) e n = (raiz22, raiz22, raiz124 + raiz124) = (raiz22, raiz22, raiz122) :
n = (raiz22, raiz22, raiz3)
Vamos calcular isso:
O produto vetorial é dado por:
Simplificando cada componente:
Sabendo que :

Passo 5

Agora que temos o vetor normal n cdot (X - P) = 0 e o ponto raiz22(x - raiz22) + raiz22(y - raiz22) + raiz3(z - raiz3) = 0 , podemos usar a equação do plano:
raiz22x - 24 + raiz22y - 24 + raiz3z - 3 = 0
Onde raiz22x + raiz22y + raiz3z - 12 - 12 - 3 = 0 . Vamos expandir isso:
raiz22x + raiz22y + raiz3z - 4 = 0
Simplificando:
raiz2x + raiz2y + 2raiz3z - 8 = 0
Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície raiz2,x + raiz2,y + 2raiz3,z - 8 = 0 no ponto é:

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