Determine as curvas de grade das superfícies dadas, nos pontos indicados (encontre u0 e v0 correspondente ao ponto):
r(u, v) = (u, v, u^2 + v^2), P = (1, 1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar as curvas de grade da superfície definida por no ponto . Primeiro, precisamos entender que “curvas de grade” são as curvas que aparecem quando fixamos um dos parâmetros ( u ou v) e variamos o outro. Para isso, vamos encontrar os valores de e que correspondem ao ponto P.

Passo 2

Vamos igualar as componentes da função vetor às coordenadas do ponto P. Ou seja:
Isso nos mostra diretamente que e .

Passo 3

Agora que temos e , vamos determinar as curvas de grade. Primeiro, a curva de grade quando mantemos v fixo e variamos u. Vamos chamar essa curva de .

Passo 4

Para a curva , fixamos . Substituindo na função vetor:
Essa é a equação parametrizada da curva de grade no ponto P.

Passo 5

Agora, vamos determinar a outra curva de grade, chamada , onde mantemos e variamos v. Substituindo na função vetor:
Essa é a equação parametrizada da curva de grade no ponto P.

Resposta

As curvas de grade no ponto são:

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