Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. A gente vai trabalhar com integração por frações parciais, que é uma técnica para quebrar funções racionais em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Vamos precisar identificar os fatores do denominador e montar uma expressão que a gente consiga integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador:
e
. Como são fatores distintos e elevados a potências, nossa primeira ideia é quebrar a fração em termos mais simples. A gente escreve a fração original como uma soma de frações menores. Para isso, a gente assume a seguinte forma:
Aqui,
,
,
,
,
e
são constantes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Isso nos dá uma equação polinomial que precisa ser válida para todos os valores de
.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
,
,
,
e
, vamos escolher valores estratégicos de
que simplifiquem a equação. Vamos começar com
:
Passo 5
Agora, vamos escolher
para simplificar a equação:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Para encontrar mais valores, podemos expandir a equação geral e igualar os coeficientes dos termos correspondentes de
. Após expandir e comparar termos, vamos obter um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores de
,
,
,
e
. (Esse processo envolve um pouco de álgebra, mas é essencial para determinar todas as constantes necessárias.)
Passo 7
Após resolver o sistema de equações, chegamos aos valores de todas as constantes:
Passo 8
Substituindo esses valores na nossa expressão original de frações parciais, temos:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
© Se e
são ambas limitadas, então
é limitada.
© Se
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado
Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(g) Se e
são ambas divergentes, então
é divergente.
(g) Se