Resolva as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai trabalhar com integração por frações parciais, que é uma técnica para quebrar funções racionais em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Vamos precisar identificar os fatores do denominador e montar uma expressão que a gente consiga integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador: e . Como são fatores distintos e elevados a potências, nossa primeira ideia é quebrar a fração em termos mais simples. A gente escreve a fração original como uma soma de frações menores. Para isso, a gente assume a seguinte forma:
Aqui, , , , , e são constantes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Isso nos dá uma equação polinomial que precisa ser válida para todos os valores de .

Passo 4

Para encontrar os valores de , , , , e , vamos escolher valores estratégicos de que simplifiquem a equação. Vamos começar com :

Passo 5

Agora, vamos escolher para simplificar a equação:
Sabemos que , então:

Passo 6

Para encontrar mais valores, podemos expandir a equação geral e igualar os coeficientes dos termos correspondentes de . Após expandir e comparar termos, vamos obter um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores de , , , e . (Esse processo envolve um pouco de álgebra, mas é essencial para determinar todas as constantes necessárias.)

Passo 7

Após resolver o sistema de equações, chegamos aos valores de todas as constantes:

Passo 8

Substituindo esses valores na nossa expressão original de frações parciais, temos:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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© Se e são ambas limitadas, então é limitada.
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado
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