Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(g) Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente.
(g) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências de números reais, chamadas de
e
. A afirmação diz que se tanto
quanto
são divergententes (ou seja, não convergem para nenhum número específico), então a sequência
também deve ser divergente. Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explicamos por quê; se for falsa, mostramos um exemplo que contraria a afirmação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência ser divergente. Uma sequência
é dita divergente se não existe um número real
tal que, para todo
, existe um número natural
onde, para todo
,
. Basicamente, a sequência não se aproxima de nenhum número específico conforme avançamos nos termos.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação: se
e
são divergentes, então
é divergente. Para verificar se isso é sempre verdadeiro, precisamos considerar se existe algum caso onde
e
são divergentes, mas
converge.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um contraexemplo, ou seja, um caso onde
e
são divergentes, mas
é convergente. Se conseguirmos isso, a afirmação será falsa.
Passo 5
Considere as seguintes sequências:
- Seja
, que claramente diverge para o infinito. - Seja
, que converge para (divergente).
Agora, vamos calcular
:
Essa sequência é constante e converge para 1.
Passo 6
Nesse exemplo,
é divergente,
é convergente, e
é divergente. Porém, queremos um caso onde
e
são divergentes, mas
é convergente. Vamos ajustar o exemplo.
Passo 7
Vamos tentar outro exemplo:
- Seja
(divergente). - Seja
(divergente).
Então,
Aqui,
, que é convergente.
Passo 8
Este exemplo mostra que mesmo
sendo divergente e
convergente,
é divergente. Isso não contradiz a afirmação original. Precisamos de um caso onde
e
ambos divergem, mas
converge.
Passo 9
Tente o seguinte exemplo:
- Seja
, que é e é divergente. - Seja
, que é e também é divergente.
Agora,
Aqui,
, que é convergente.
Passo 10
Novamente, não conseguimos o que queríamos. Vamos considerar que talvez a afirmação seja verdadeira. Ou seja, se
e
são ambas divergentes, então
também deve ser divergente. Depois de várias tentativas, não encontramos um contraexemplo, sugerindo que a afirmação pode ser verdadeira.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se as sequências
e
são ambas divergentes, então a sequência
também deve ser divergente.
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- Apresente exemplos de:
(a) Uma série divergente