Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(g) Se e são ambas divergentes, então é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências de números reais, chamadas de e . A afirmação diz que se tanto quanto são divergententes (ou seja, não convergem para nenhum número específico), então a sequência também deve ser divergente. Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explicamos por quê; se for falsa, mostramos um exemplo que contraria a afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência ser divergente. Uma sequência é dita divergente se não existe um número real tal que, para todo , existe um número natural onde, para todo , . Basicamente, a sequência não se aproxima de nenhum número específico conforme avançamos nos termos.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: se e são divergentes, então é divergente. Para verificar se isso é sempre verdadeiro, precisamos considerar se existe algum caso onde e são divergentes, mas converge.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um contraexemplo, ou seja, um caso onde e são divergentes, mas é convergente. Se conseguirmos isso, a afirmação será falsa.

Passo 5

Considere as seguintes sequências:
  • Seja , que claramente diverge para o infinito.
  • Seja , que converge para (divergente).
Agora, vamos calcular :
Essa sequência é constante e converge para 1.

Passo 6

Nesse exemplo, é divergente, é convergente, e é divergente. Porém, queremos um caso onde e são divergentes, mas é convergente. Vamos ajustar o exemplo.

Passo 7

Vamos tentar outro exemplo:
  • Seja (divergente).
  • Seja (divergente).
Então,
Aqui, , que é convergente.

Passo 8

Este exemplo mostra que mesmo sendo divergente e convergente, é divergente. Isso não contradiz a afirmação original. Precisamos de um caso onde e ambos divergem, mas converge.

Passo 9

Tente o seguinte exemplo:
  • Seja , que é e é divergente.
  • Seja , que é e também é divergente.
Agora,
Aqui, , que é convergente.

Passo 10

Novamente, não conseguimos o que queríamos. Vamos considerar que talvez a afirmação seja verdadeira. Ou seja, se e são ambas divergentes, então também deve ser divergente. Depois de várias tentativas, não encontramos um contraexemplo, sugerindo que a afirmação pode ser verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se as sequências e são ambas divergentes, então a sequência também deve ser divergente.

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