Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Esse problema envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e a equação do plano tangente a uma superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um vetor normal à superfície no ponto
. Para isso, vamos considerar a função que define a superfície:
. O vetor gradiente de
, que é
, nos dá o vetor normal à superfície.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o vetor gradiente é
.
Passo 4
No ponto
, substituímos os valores de
e
no gradiente:
Esse é o vetor normal ao plano tangente.
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser escrita na forma:
onde
são as componentes do vetor normal e
é o ponto de tangência
.
Passo 6
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Resposta
A equação do plano tangente é
.
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(g) Se e
são ambas divergentes, então
é divergente.
(g) Se
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado
- Apresente exemplos de:
(a) Uma série divergente
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado