Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Esse problema envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e a equação do plano tangente a uma superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor normal à superfície no ponto . Para isso, vamos considerar a função que define a superfície: . O vetor gradiente de , que é , nos dá o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o vetor gradiente é .

Passo 4

No ponto , substituímos os valores de e no gradiente:
Esse é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita na forma:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto de tangência .

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Resposta

A equação do plano tangente é .

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(g) Se e são ambas divergentes, então é divergente.
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado
  1. Apresente exemplos de:
    (a) Uma série divergente
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado