Em cada uma das seguintes afirmações, (a_n)_{n=1}^\infty e (b_n)_{n=1}^\infty representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(b) Se a_n e b_n são ambas não limitadas, então a_n + b_n é não limitada.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se a_n e b_n são ambas não limitadas, então a_n + b_n é não limitada.” Estamos lidando com sequências numéricas e propriedades de limites. Precisamos verificar se a soma de duas sequências não limitadas também é uma sequência não limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser não limitada. Uma sequência c_n é não limitada se, para qualquer número real M, existe um índice n tal que . Ou seja, a sequência pode crescer indefinidamente em valor absoluto.
Agora, consideremos a afirmação: se duas sequências a_n e b_n são ambas não limitadas, será que a soma também é não limitada?

Passo 3

Vamos testar a afirmação com um contraexemplo. Suponha que e . Ambas as sequências são não limitadas porque, conforme n cresce, seus valores absolutos também crescem sem limite.
Agora, somando as duas sequências:
A sequência resultante para todo n, que é claramente limitada, já que seu valor absoluto nunca supera 0.

Resposta

Falso. Por exemplo, se e , então a_n e b_n são não limitadas, mas é limitada.

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