Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(b) Se
e
são ambas não limitadas, então
é não limitada.
(b) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
e
são ambas não limitadas, então
é não limitada.” Estamos lidando com sequências numéricas e propriedades de limites. Precisamos verificar se a soma de duas sequências não limitadas também é uma sequência não limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser não limitada. Uma sequência
é não limitada se, para qualquer número real
, existe um índice
tal que
. Ou seja, a sequência pode crescer indefinidamente em valor absoluto.
Agora, consideremos a afirmação: se duas sequências
e
são ambas não limitadas, será que a soma
também é não limitada?
Passo 3
Vamos testar a afirmação com um contraexemplo. Suponha que
e
. Ambas as sequências são não limitadas porque, conforme
cresce, seus valores absolutos também crescem sem limite.
Agora, somando as duas sequências:
A sequência resultante
para todo
, que é claramente limitada, já que seu valor absoluto nunca supera 0.
Resposta
Falso. Por exemplo, se
e
, então
e
são não limitadas, mas
é limitada.
Exercícios relacionados
Considere a função
(1,5 ponto) Esboce o gráfico de
no intervalo
.
Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(f)
(f)
Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(d) Se limitada, então
é convergente.
(d) Se
Encontre a série de Taylor de
em torno de
usando a definição de uma série de Taylor.