Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(b) Se e são ambas não limitadas, então é não limitada.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se e são ambas não limitadas, então é não limitada.” Estamos lidando com sequências numéricas e propriedades de limites. Precisamos verificar se a soma de duas sequências não limitadas também é uma sequência não limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser não limitada. Uma sequência é não limitada se, para qualquer número real , existe um índice tal que . Ou seja, a sequência pode crescer indefinidamente em valor absoluto.
Agora, consideremos a afirmação: se duas sequências e são ambas não limitadas, será que a soma também é não limitada?

Passo 3

Vamos testar a afirmação com um contraexemplo. Suponha que e . Ambas as sequências são não limitadas porque, conforme cresce, seus valores absolutos também crescem sem limite.
Agora, somando as duas sequências:
A sequência resultante para todo , que é claramente limitada, já que seu valor absoluto nunca supera 0.

Resposta

Falso. Por exemplo, se e , então e são não limitadas, mas é limitada.

Exercícios relacionados

Considere a função
(1,5 ponto) Esboce o gráfico de no intervalo .
Verifique se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(f)
Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(d) Se limitada, então é convergente.
Encontre a série de Taylor de em torno de usando a definição de uma série de Taylor.