Encontre a série de Taylor de em torno de usando a definição de uma série de Taylor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de Cálculo que pede para encontrar a série de Taylor da função em torno de . Basicamente, a série de Taylor é uma forma de aproximar funções usando polinômios. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas da função e aplicá-las na fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função em torno de um ponto :
Isso significa que precisamos calcular a função e suas derivadas em .

Passo 3

Vamos começar calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
Avaliando em :

Passo 5

Em seguida, a segunda derivada:
Avaliando em :

Passo 6

A terceira derivada é:
Avaliando em :

Passo 7

A quarta derivada volta a ser:
Avaliando em :

Passo 8

Perceba que as derivadas começam a se repetir a cada quatro termos. Isso significa que podemos generalizar as derivadas -ésimas de em torno de :

Passo 9

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:

Passo 10

Simplificando um pouco, a série de Taylor de em torno de fica:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(d) Se limitada, então é convergente.
Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(b) Se e são ambas não limitadas, então é não limitada.
Calcule as derivadas, utilizando a def. da derivada: Resp:
Use o multiplicador de Lagrange para encontrar os extremos e os valores máximos e minimos da função Sujeita a restrição dada.