Encontre a série de Taylor de em torno de usando a definição de uma série de Taylor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de Cálculo que pede para encontrar a série de Taylor da função em torno de . Basicamente, a série de Taylor é uma forma de aproximar funções usando polinômios. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas da função e aplicá-las na fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função em torno de um ponto :
Isso significa que precisamos calcular a função e suas derivadas em .
Passo 3
Vamos começar calculando :
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
Avaliando em :
Passo 5
Em seguida, a segunda derivada:
Avaliando em :
Passo 6
A terceira derivada é:
Avaliando em :
Passo 7
A quarta derivada volta a ser:
Avaliando em :
Passo 8
Perceba que as derivadas começam a se repetir a cada quatro termos. Isso significa que podemos generalizar as derivadas -ésimas de em torno de :
Passo 9
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Passo 10
Simplificando um pouco, a série de Taylor de em torno de fica: