Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(d) Se
limitada, então
é convergente.
(d) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A afirmação diz que se uma sequência
é limitada, então ela é convergente. Aqui estamos trabalhando com sequências de números reais, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que todos os termos da sequência estão dentro do intervalo
e
. Em outras palavras,
para todo
.
Passo 3
Agora, uma sequência convergente é aquela que se aproxima de um certo valor
conforme
aumenta. Formalmente,
converge para
se, para todo
, existe um número
tal que para todo
,
.
Passo 4
A questão nos pergunta se toda sequência limitada deve necessariamente ser convergente. Para responder isso, precisamos verificar se a propriedade de ser limitada garante que a sequência tenha um limite.
Passo 5
Na verdade, não. Ser limitada não garante a convergência. Podemos ter sequências que permanecem dentro de certos limites, mas não se aproximam de um único valor.
Passo 6
Um exemplo clássico de uma sequência limitada que não é convergente é a sequência
. Vamos analisar:
- Limitada: Sim, porque todos os termos são
ou , então está contida entre e . - Convergente: Não, porque a sequência oscila entre
e indefinidamente e não se aproxima de nenhum valor específico.
Resposta
Falso. Por exemplo, a sequência
é limitada, mas não converge, já que seus termos alternam entre
e
sem se estabilizar em um único valor.
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Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(b) Se e
são ambas não limitadas, então
é não limitada.
(b) Se
Considere a função
(1,5 ponto) Esboce o gráfico de
no intervalo
.
Encontre a série de Taylor de
em torno de
usando a definição de uma série de Taylor.
Calcule as derivadas, utilizando a def. da derivada:
Resp: