Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(d) Se limitada, então é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A afirmação diz que se uma sequência é limitada, então ela é convergente. Aqui estamos trabalhando com sequências de números reais, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que todos os termos da sequência estão dentro do intervalo e . Em outras palavras, para todo .

Passo 3

Agora, uma sequência convergente é aquela que se aproxima de um certo valor conforme aumenta. Formalmente, converge para se, para todo , existe um número tal que para todo , .

Passo 4

A questão nos pergunta se toda sequência limitada deve necessariamente ser convergente. Para responder isso, precisamos verificar se a propriedade de ser limitada garante que a sequência tenha um limite.

Passo 5

Na verdade, não. Ser limitada não garante a convergência. Podemos ter sequências que permanecem dentro de certos limites, mas não se aproximam de um único valor.

Passo 6

Um exemplo clássico de uma sequência limitada que não é convergente é a sequência . Vamos analisar:
  • Limitada: Sim, porque todos os termos são ou , então está contida entre e .
  • Convergente: Não, porque a sequência oscila entre e indefinidamente e não se aproxima de nenhum valor específico.

Resposta

Falso. Por exemplo, a sequência é limitada, mas não converge, já que seus termos alternam entre e sem se estabilizar em um único valor.

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(b) Se e são ambas não limitadas, então é não limitada.
Considere a função
(1,5 ponto) Esboce o gráfico de no intervalo .
Encontre a série de Taylor de em torno de usando a definição de uma série de Taylor.
Calcule as derivadas, utilizando a def. da derivada: Resp: