Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(h) Se
é convergente, então
é convergente.
(h) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre sequências numéricas e convergência. A afirmação diz que se a sequência
converge, então a sequência dos inversos,
, também converge. Para resolver, vamos precisar entender o que é convergência de sequências e como o comportamento dos termos afeta a sequência dos inversos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Dizemos que
converge para um limite
se, conforme
cresce, os termos de
se aproximam cada vez mais de
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre a sequência dos inversos,
. Se
converge para
, então
vai convergir para
. Isso porque, se os termos de
estão se aproximando de
, seus inversos vão se aproximar de
.
Passo 4
Mas e se
? Se
converge para zero, então os termos
estão ficando cada vez menores, e seus inversos
estão ficando cada vez maiores, ou seja, tendem ao infinito. Nesse caso, a sequência
não converge para um número real, pois está “divergindo”.
Passo 5
Então, a afirmação original diz que “se
é convergente, então
é convergente”. Vimos que isso é verdade apenas se o limite
de
for diferente de zero. Se
, a sequência dos inversos não converge.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência
, que converge para
, mas a sequência
não converge.
Exercícios relacionados
Determine a reta tangente para:
no ponto
(Resp:
- Sejam
e sequências definidas por e . Verifique se converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu limite. - Defina a sequência
por e para cada . Sabendo que para , conclua que é convergente (justifique) e calcule o seu limite. - Seja
e para todo , onde . Estude a convergência dessa sequência. - Sejam
definidas por e . Mostre que . - Apresente um exemplo de séries divergentes
e tal que converge. - Apresente um exemplo de uma sequência
de números positivos tal que , mas a série diverge. - Avalie a série infinita:
(a)
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(g)
(g)
Resolva as integrais: