Em cada uma das seguintes afirmações, representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(h) Se é convergente, então é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre sequências numéricas e convergência. A afirmação diz que se a sequência converge, então a sequência dos inversos, , também converge. Para resolver, vamos precisar entender o que é convergência de sequências e como o comportamento dos termos afeta a sequência dos inversos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Dizemos que converge para um limite se, conforme cresce, os termos de se aproximam cada vez mais de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre a sequência dos inversos, . Se converge para , então vai convergir para . Isso porque, se os termos de estão se aproximando de , seus inversos vão se aproximar de .

Passo 4

Mas e se ? Se converge para zero, então os termos estão ficando cada vez menores, e seus inversos estão ficando cada vez maiores, ou seja, tendem ao infinito. Nesse caso, a sequência não converge para um número real, pois está “divergindo”.

Passo 5

Então, a afirmação original diz que “se é convergente, então é convergente”. Vimos que isso é verdade apenas se o limite de for diferente de zero. Se , a sequência dos inversos não converge.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência , que converge para , mas a sequência não converge.

Exercícios relacionados

Determine a reta tangente para: no ponto (Resp:
  1. Sejam e sequências definidas por e . Verifique se converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu limite.
  2. Defina a sequência por e para cada . Sabendo que para , conclua que é convergente (justifique) e calcule o seu limite.
  3. Seja e para todo , onde . Estude a convergência dessa sequência.
  4. Sejam definidas por e . Mostre que .
  5. Apresente um exemplo de séries divergentes e tal que converge.
  6. Apresente um exemplo de uma sequência de números positivos tal que , mas a série diverge.
  7. Avalie a série infinita:
    (a)
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(g)
Resolva as integrais: