Em cada uma das seguintes afirmações, (a_n)_{n=1}^\infty e (b_n)_{n=1}^\infty representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(h) Se a_n é convergente, então 1/a_n é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre sequências numéricas e convergência. A afirmação diz que se a sequência a_n converge, então a sequência dos inversos, 1/a_n, também converge. Para resolver, vamos precisar entender o que é convergência de sequências e como o comportamento dos termos afeta a sequência dos inversos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Dizemos que a_n converge para um limite L se, conforme n cresce, os termos de a_n se aproximam cada vez mais de L. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre a sequência dos inversos, 1/a_n. Se a_n converge para , então vai convergir para . Isso porque, se os termos de a_n estão se aproximando de L, seus inversos vão se aproximar de .

Passo 4

Mas e se ? Se a_n converge para zero, então os termos a_n estão ficando cada vez menores, e seus inversos estão ficando cada vez maiores, ou seja, tendem ao infinito. Nesse caso, a sequência 1/a_n não converge para um número real, pois está “divergindo”.

Passo 5

Então, a afirmação original diz que “se a_n é convergente, então 1/a_n é convergente”. Vimos que isso é verdade apenas se o limite L de a_n for diferente de zero. Se , a sequência dos inversos não converge.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência , que converge para 0, mas a sequência não converge.

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