Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
©

Passo 1

Beleza, hoje vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o Laplaciano de um campo escalar dado. O campo em questão é . Para resolver isso, vamos usar as fórmulas do Laplaciano em coordenadas esféricas. Precisamos lembrar como calcular derivadas parciais nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas :
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso .

Passo 3

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Agora, multiplicamos por e derivamos novamente em relação a :
Então, a primeira parte do Laplaciano é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Multiplicamos por e derivamos novamente em relação a :
Então, a segunda parte do Laplaciano é:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Derivamos novamente:
Então, a terceira parte do Laplaciano é:

Resposta

Somando as três partes que calculamos:
Simplificando:

Exercícios relacionados

encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
©
Se a integral representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até , encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
Sobre uma linha que se desloca de até ao longo:
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos e .
Seja . Calcule:
(b)
na região definida por ,
Considere a função: .
Determine os pontos críticos.