Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
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Passo 1
Beleza, hoje vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o Laplaciano
de um campo escalar dado. O campo em questão é
. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas do Laplaciano em coordenadas esféricas. Precisamos lembrar como calcular derivadas parciais nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas
:
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso
.
Passo 3
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, multiplicamos por
e derivamos novamente em relação a
:
Então, a primeira parte do Laplaciano é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Multiplicamos por
e derivamos novamente em relação a
:
Então, a segunda parte do Laplaciano é:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Derivamos novamente:
Então, a terceira parte do Laplaciano é:
Resposta
Somando as três partes que calculamos:
Simplificando:
Exercícios relacionados
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
©
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Se a integral
representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até
, encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
Sobre uma linha que se desloca de
até
ao longo:
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos e
.
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos
Seja
. Calcule:
(b)
na região definida por ,
(b)
na região definida por
Considere a função:
.
Determine os pontos críticos.
Determine os pontos críticos.