Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
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Passo 1
Beleza, hoje vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o Laplaciano
de um campo escalar dado. O campo em questão é
. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas do Laplaciano em coordenadas esféricas. Precisamos lembrar como calcular derivadas parciais nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas
:
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso
.
Passo 3
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, multiplicamos por
e derivamos novamente em relação a
:
Então, a primeira parte do Laplaciano é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Multiplicamos por
e derivamos novamente em relação a
:
Então, a segunda parte do Laplaciano é:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Derivamos novamente:
Então, a terceira parte do Laplaciano é:
Resposta
Somando as três partes que calculamos:
Simplificando: