Para cada um dos seguintes campos escalares, determine nabla^2 V:
© V3 = r^2(1 + cos(θ) * sen(φ))

Passo 1

Beleza, hoje vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o Laplaciano de um campo escalar dado. O campo em questão é . Para resolver isso, vamos usar as fórmulas do Laplaciano em coordenadas esféricas. Precisamos lembrar como calcular derivadas parciais nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas :
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso .

Passo 3

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Agora, multiplicamos por e derivamos novamente em relação a :
Então, a primeira parte do Laplaciano é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Multiplicamos por e derivamos novamente em relação a :
Então, a segunda parte do Laplaciano é:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Derivamos novamente:
Então, a terceira parte do Laplaciano é:

Resposta

Somando as três partes que calculamos:
Simplificando:

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