Seja
. Calcule:
(b)
na região definida por
,
(b)
na região definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral do divergente do vetor
sobre uma região específica em coordenadas cilíndricas. A matéria envolvida é cálculo vetorial, especificamente divergente e integrais em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar aplicar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas e então integrar sobre a região dada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o divergente de
. Em coordenadas cilíndricas, o divergente de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
e
. Não temos componente
, então
.
Passo 3
Vamos calcular cada termo do divergente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então, o divergente fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral do divergente sobre a região dada. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. A integral fica:
Passo 5
Vamos resolver as integrais passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
©
©
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
©
©
Considere a função:
.
Determine os pontos críticos.
Determine os pontos críticos.