Seja D=2 rho z^2 rho+rho cos ^2 phi k. Calcule:
(b) integralnu nabla cdot D d v
na região definida por 0 <= rho <= 5,-1 <= z <= 1, 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral do divergente do vetor sobre uma região específica em coordenadas cilíndricas. A matéria envolvida é cálculo vetorial, especificamente divergente e integrais em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar aplicar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas e então integrar sobre a região dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o divergente de nabla cdot D = 1rho partial (rho Drho)partial rho + 1rho partial Dphipartial phi + partial Dzpartial z . Em coordenadas cilíndricas, o divergente de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, e . Não temos componente , então .

Passo 3

Vamos calcular cada termo do divergente:
  1. Primeiro termo:
1rho partial (rho Drho)partial rho = 1rho partial (2 rho^2 z^2)partial rho = 1rho cdot 4 rho z^2 = 4 z^2
  1. Segundo termo:
1rho partial Dphipartial phi = 1rho cdot 0 = 0
  1. Terceiro termo:
partial Dzpartial z = partial (rho cos^2 phi)partial z = 0
Então, o divergente fica:
nabla cdot D = 4 z^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral do divergente sobre a região dada. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é integralnu nabla cdot D , dV = integral-1^1 integral0^5 integral0^2pi 4 z^2 cdot rho , dphi , drho , dz . A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver as integrais passo a passo:
  1. Integral em integral0^2pi dphi = 2pi :
integral0^5 rho , drho = [rho^22]0^5 = 252
  1. Integral em integral-1^1 4 z^2 , dz = 4 [z^33]-1^1 = 4(13 - (-13)) = 4 cdot 23 = 83 :
  1. Integral em :

Passo 6

Agora, juntando tudo:
4 cdot 83 cdot 252 cdot 2pi = 2003 pi

Resposta

A integral vale .

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