Seja . Calcule:
(b)
na região definida por ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral do divergente do vetor sobre uma região específica em coordenadas cilíndricas. A matéria envolvida é cálculo vetorial, especificamente divergente e integrais em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar aplicar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas e então integrar sobre a região dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o divergente de . Em coordenadas cilíndricas, o divergente de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, e . Não temos componente , então .

Passo 3

Vamos calcular cada termo do divergente:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Então, o divergente fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral do divergente sobre a região dada. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver as integrais passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 6

Agora, juntando tudo:

Resposta

A integral vale .

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Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
©
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
©
Considere a função: .
Determine os pontos críticos.