Se a integral
representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até
, encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
Sobre uma linha que se desloca de
até
ao longo:
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos
e
.
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao deslocar uma partícula do ponto
até
ao longo de dois caminhos diferentes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Vamos precisar entender como parametrizar cada caminho e como calcular a integral de linha para cada segmento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado por um campo de força. Basicamente, é a integral de linha do campo
ao longo de um caminho
:
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo de força com o diferencial de deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Vamos começar com o item (a), que envolve um caminho composto por três segmentos:
- De
a - De
a - De
a
Vamos calcular a integral de linha para cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
Segmento 1:
a
Nesse segmento, apenas o varia de 0 a 1, enquanto
e
. Podemos parametrizar o caminho como:
Nesse segmento, apenas o
O diferencial de deslocamento é:
Agora, substituímos na expressão do campo
:
Então, a integral para este segmento é zero.
Passo 5
Segmento 2:
a
Aqui, apenas o varia de 0 a 2, mantendo
e
. A parametrização é:
Aqui, apenas o
O diferencial de deslocamento é:
Substituindo no campo
:
O produto escalar
é:
Integrando de 0 a 2:
Passo 6
Segmento 3:
a
Aqui, apenas o varia de 0 a 3, mantendo
e
. A parametrização é:
Aqui, apenas o
O diferencial de deslocamento é:
Substituindo no campo
:
O produto escalar
é:
Integrando de 0 a 3:
Passo 7
Agora, somamos os resultados dos três segmentos para obter o trabalho total:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao longo do caminho (a) é
unidades de trabalho.
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Utilize o volume diferencial
para determinar os volumes das seguintes regiões:
©
©
Utilizando o comprimento diferencial
, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
© Constante
©
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©
©
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
©
©