Se a integral integrala^b F cdot d l representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até b, encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
F=2 x y i+(x^2-z^2) j-3 x z^2 k
Sobre uma linha que se desloca de a(0,0,0) até b(2,1,3) ao longo:
(a) do segmento (0,0,0) (0,1,0) (2,1,0) (2,1,3)
(b) da linha reta entre os pontos (0,0,0) e (2,1,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao deslocar uma partícula do ponto até ao longo de dois caminhos diferentes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Vamos precisar entender como parametrizar cada caminho e como calcular a integral de linha para cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado por um campo de força. Basicamente, é a integral de linha do campo integralC F cdot dl ao longo de um caminho :
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo de força com o diferencial de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos começar com o item (a), que envolve um caminho composto por três segmentos:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos calcular a integral de linha para cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

Segmento 1: l1(t) = (0, t, 0), t in [0,1] a dl1 = (0, dt, 0)
Nesse segmento, apenas o F = 2xy i + (x^2 - z^2) j - 3xz^2 k = 0 i + 0 j + 0 k = 0 varia de 0 a 1, enquanto e . Podemos parametrizar o caminho como:
O diferencial de deslocamento é:
Agora, substituímos na expressão do campo :
Então, a integral para este segmento é zero.

Passo 5

Segmento 2: l2(t) = (t, 1, 0), t in [0,2] a dl2 = (dt, 0, 0)
Aqui, apenas o F = 2xy i + (x^2 - z^2) j - 3xz^2 k = 2t cdot 1 i + t^2 j + 0 k = (2t, t^2, 0) varia de 0 a 2, mantendo (2t, t^2, 0) cdot (dt, 0, 0) = 2t , dt e integral0^2 2t , dt = [t^2]0^2 = 4 . A parametrização é:
O diferencial de deslocamento é:
Substituindo no campo :
O produto escalar é:
Integrando de 0 a 2:

Passo 6

Segmento 3: l3(t) = (2, 1, t), t in [0,3] a dl3 = (0, 0, dt)
Aqui, apenas o F = 2xy i + (x^2 - z^2) j - 3xz^2 k = 2 cdot 2 cdot 1 i + (4 - t^2) j - 12t^2 k = (4, 4 - t^2, -12t^2) varia de 0 a 3, mantendo (4, 4 - t^2, -12t^2) cdot (0, 0, dt) = -12t^2 , dt e integral0^3 -12t^2 , dt = -12 [ t^33 ]0^3 = -12 cdot (9 - 0) = -108 . A parametrização é:
O diferencial de deslocamento é:
Substituindo no campo :
O produto escalar é:
Integrando de 0 a 3:

Passo 7

Agora, somamos os resultados dos três segmentos para obter o trabalho total:
W = 0 + 4 + (-108) = -104

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao longo do caminho (a) é unidades de trabalho.

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