Se a integral representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até , encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
Sobre uma linha que se desloca de até ao longo:
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao deslocar uma partícula do ponto até ao longo de dois caminhos diferentes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Vamos precisar entender como parametrizar cada caminho e como calcular a integral de linha para cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado por um campo de força. Basicamente, é a integral de linha do campo ao longo de um caminho :
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo de força com o diferencial de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos começar com o item (a), que envolve um caminho composto por três segmentos:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos calcular a integral de linha para cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

Segmento 1: a
Nesse segmento, apenas o varia de 0 a 1, enquanto e . Podemos parametrizar o caminho como:
O diferencial de deslocamento é:
Agora, substituímos na expressão do campo :
Então, a integral para este segmento é zero.

Passo 5

Segmento 2: a
Aqui, apenas o varia de 0 a 2, mantendo e . A parametrização é:
O diferencial de deslocamento é:
Substituindo no campo :
O produto escalar é:
Integrando de 0 a 2:

Passo 6

Segmento 3: a
Aqui, apenas o varia de 0 a 3, mantendo e . A parametrização é:
O diferencial de deslocamento é:
Substituindo no campo :
O produto escalar é:
Integrando de 0 a 3:

Passo 7

Agora, somamos os resultados dos três segmentos para obter o trabalho total:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao longo do caminho (a) é unidades de trabalho.

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©
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© Constante
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©
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
©