encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
©

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o gradiente do campo escalar . O gradiente nos diz como a função muda em cada direção no espaço. Para resolver isso, vamos utilizar as coordenadas esféricas e a fórmula do gradiente nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do gradiente em coordenadas esféricas. Se tivermos uma função , o gradiente é dado por:
Aqui, , , e são os vetores unitários nas direções de , , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Substituindo as derivadas parciais na fórmula do gradiente, temos:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Podemos simplificar ainda mais o último termo:
Mas para manter a expressão mais clara, podemos deixá-la como está.

Resposta

O gradiente do campo escalar é:

Exercícios relacionados

Se a integral representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até , encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
Sobre uma linha que se desloca de até ao longo:
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos e .
Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
©
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
©
Seja . Calcule:
(b)
na região definida por ,