encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
©
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o gradiente do campo escalar
. O gradiente nos diz como a função
muda em cada direção no espaço. Para resolver isso, vamos utilizar as coordenadas esféricas e a fórmula do gradiente nessa coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do gradiente em coordenadas esféricas. Se tivermos uma função
, o gradiente é dado por:
Aqui,
,
, e
são os vetores unitários nas direções de
,
, e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Substituindo as derivadas parciais na fórmula do gradiente, temos:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Podemos simplificar ainda mais o último termo:
Mas para manter a expressão mais clara, podemos deixá-la como está.
Resposta
O gradiente do campo escalar
é:
Exercícios relacionados
Se a integral
representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até
, encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
Sobre uma linha que se desloca de
até
ao longo:
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos e
.
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos
Utilize o volume diferencial
para determinar os volumes das seguintes regiões:
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©
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
©
©
Seja
. Calcule:
(b)
na região definida por ,
(b)
na região definida por