Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o Laplaciano de um campo escalar, que no caso é
. O Laplaciano é uma operação da matemática conhecida como cálculo vetorial, que nos ajuda a entender como uma função varia no espaço. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Laplaciano. Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de uma função
é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as segundas derivadas de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a segunda derivada de
em relação a
. Primeiro, a derivada primeira de
em relação a
é:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
Fazendo o mesmo para a variável
, temos:
E a segunda derivada é:
Passo 5
Agora, para a variável
:
E a segunda derivada:
Resposta
Somando todas as segundas derivadas, temos:
Exercícios relacionados
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(b)
(b)
Dado que
, calcule
, Considere
ao longo da curva
, de
a
.
Utilizando o comprimento diferencial
, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(b)
(b)
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
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