Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o Laplaciano de um campo escalar, que no caso é . O Laplaciano é uma operação da matemática conhecida como cálculo vetorial, que nos ajuda a entender como uma função varia no espaço. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Laplaciano. Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de uma função é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as segundas derivadas de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a segunda derivada de em relação a . Primeiro, a derivada primeira de em relação a é:
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Fazendo o mesmo para a variável , temos:
E a segunda derivada é:

Passo 5

Agora, para a variável :
E a segunda derivada:

Resposta

Somando todas as segundas derivadas, temos:

Exercícios relacionados

encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(b)
Dado que , calcule , Considere ao longo da curva , de a .
Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(b)
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial :
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