encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o gradiente do campo escalar
. A gente está trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com gradientes em coordenadas cilíndricas. Então, pra resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o gradiente nesse sistema de coordenadas e aplicar as derivadas parciais nas direções correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do gradiente em coordenadas cilíndricas
. O gradiente de uma função
é dado por:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções das coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
- Derivada parcial em relação a
:
Isso porque derivamos
em relação a
, que dá 2, e o resto é tratado como constante.
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
, que resulta em
.
- Derivada parcial em relação a
:
Derivando
em relação a
, obtemos
, multiplicado por 2 resulta em
.
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do gradiente:
Simplificando o termo com
:
Resposta
Então, o gradiente do campo escalar
é:
Exercícios relacionados
Dado que
, calcule
, Considere
ao longo da curva
, de
a
.
Utilize o volume diferencial
para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b)
(b)
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
(a)
(a)
Utilizando o comprimento diferencial
, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(b)
(b)