encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o gradiente do campo escalar . A gente está trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com gradientes em coordenadas cilíndricas. Então, pra resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o gradiente nesse sistema de coordenadas e aplicar as derivadas parciais nas direções correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do gradiente em coordenadas cilíndricas . O gradiente de uma função é dado por:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções das coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
  1. Derivada parcial em relação a :
Isso porque derivamos em relação a , que dá 2, e o resto é tratado como constante.
  1. Derivada parcial em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , que resulta em .
  1. Derivada parcial em relação a :
Derivando em relação a , obtemos , multiplicado por 2 resulta em .

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do gradiente:
Simplificando o termo com :

Resposta

Então, o gradiente do campo escalar é:

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Dado que , calcule , Considere ao longo da curva , de a .
Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b)
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(a)
Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(b)