Dado que A=x^2 i+y^2 j, calcule integralL A cdot d l, Considere L ao longo da curva y=x^2, de (0,0) a (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisa calcular a integral de linha ao longo da curva , indo do ponto até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, substituir na integral e resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva r(t) = t i + t^2 j, onde t in [0,1] . A curva é dada por , e estamos indo de até . Então, podemos usar como nosso parâmetro . Assim, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial drdt = ddt (t i + t^2 j) = i + 2t j , que é a derivada de dl = (i + 2t j) , dt em relação a multiplicada por :
Então,

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial A(t) = (t^2) i + (y^2) j = t^2 i + (t^2)^2 j = t^2 i + t^4 j :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar A cdot dl = (t^2 i + t^4 j) cdot (i + 2t j) = t^2 cdot 1 + t^4 cdot 2t = t^2 + 2t^5 :

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
integralL A cdot dl = integral0^1 (t^2 + 2t^5) , dt

Passo 7

Vamos resolver essa integral:
integral0^1 t^2 , dt = [ t^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
integral0^1 2t^5 , dt = 2 [ t^66 ]0^1 = 2 ( 16 - 0 ) = 13

Passo 8

Agora, somamos os resultados das integrais:
13 + 13 = 23

Resposta

A integral de linha é .

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