Dado que , calcule , Considere ao longo da curva , de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisa calcular a integral de linha ao longo da curva , indo do ponto até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, substituir na integral e resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A curva é dada por , e estamos indo de até . Então, podemos usar como nosso parâmetro . Assim, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial , que é a derivada de em relação a multiplicada por :
Então,

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:

Passo 7

Vamos resolver essa integral:

Passo 8

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

A integral de linha é .

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Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b)
Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a) Constante
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(b)
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(a)