Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(b)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo de comprimento de curvas usando o conceito de comprimento diferencial, que faz parte da geometria diferencial. A tarefa aqui é determinar o comprimento da curva definida pelas coordenadas esféricas: , e . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento diferencial em coordenadas esféricas e entender como aplicar isso ao nosso caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento diferencial em coordenadas esféricas. A fórmula geral é:
No nosso caso, o raio é constante e igual a 1 ( ), então a variação é zero ( ). Além disso, o ângulo também é constante ( ), o que significa que . Assim, a fórmula simplifica para:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento total da curva, precisamos integrar em relação a do limite inferior até o limite superior . Primeiro, convertemos os graus para radianos, já que a integração em cálculo é geralmente feita em radianos:
Então, a integral fica:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

Exercícios relacionados

Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(a)
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(b)
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial :
©
Dado que , calcule sobre a região .