Utilizando o comprimento diferencial
, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo de comprimento de curvas usando o conceito de comprimento diferencial, que faz parte da geometria diferencial. A tarefa aqui é determinar o comprimento da curva definida pelas coordenadas esféricas:
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento diferencial em coordenadas esféricas e entender como aplicar isso ao nosso caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento diferencial em coordenadas esféricas. A fórmula geral é:
No nosso caso, o raio
é constante e igual a 1 (
), então a variação
é zero (
). Além disso, o ângulo
também é constante (
), o que significa que
. Assim, a fórmula simplifica para:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, para encontrar o comprimento total da curva, precisamos integrar
em relação a
do limite inferior
até o limite superior
. Primeiro, convertemos os graus para radianos, já que a integração em cálculo é geralmente feita em radianos:
Então, a integral fica:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
(a)
(a)
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(b)
(b)
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
©
©
Dado que
, calcule
sobre a região
.