Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(b)

Passo 1

Vamos entender qual é a tarefa! Temos um campo escalar dado por e precisamos encontrar o Laplaciano de , representado por .
Estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas ( , , ), então vamos usar a fórmula do Laplaciano nessa coordenada. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas parciais de em relação a , e .
A fórmula do Laplaciano em coordenadas cilíndricas é:
Vamos calcular cada termo dessa expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Agora, multiplicamos essa derivada por :

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a desse resultado:

Passo 5

Agora, substituímos na primeira parte do Laplaciano:

Passo 6

Vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Substituímos na segunda parte do Laplaciano:

Passo 7

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de em rela��ão a . Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:

Resposta

Somando todos os termos calculados, o Laplaciano de é:
Simplificando:

Exercícios relacionados

Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)
Seja . Calcule sobre uma região retangular dada por .
Seja . Calcule:
(a)
na região definida por ,
Calcule o fluxo total do vetor:
que sai através de um cilindro ôco, definido por