Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender qual é a tarefa! Temos um campo escalar dado por
e precisamos encontrar o Laplaciano de
, representado por
.
Estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas (
,
,
), então vamos usar a fórmula do Laplaciano nessa coordenada. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
A fórmula do Laplaciano em coordenadas cilíndricas é:
Vamos calcular cada termo dessa expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 3
Agora, multiplicamos essa derivada por
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a
desse resultado:
Passo 5
Agora, substituímos na primeira parte do Laplaciano:
Passo 6
Vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Substituímos na segunda parte do Laplaciano:
Passo 7
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em rela��ão a
. Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Resposta
Somando todos os termos calculados, o Laplaciano de
é:
Simplificando:
Exercícios relacionados
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)
(a)
Seja
. Calcule
sobre uma região retangular dada por
.
Seja
. Calcule:
(a)
na região definida por ,
(a)
na região definida por
Calcule o fluxo total do vetor:
que sai através de um cilindro ôco, definido por