Seja
. Calcule:
(a)
na região definida por
,
(a)
na região definida por
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de fluxo da densidade de deslocamento elétrico
através da superfície
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante a nossa vida nesse cálculo. Para isso, vamos precisar calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume definido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência desse campo sobre todo o volume
limitado por
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. No sistema de coordenadas cilíndricas, a divergência de um campo
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos calcular cada termo da divergência:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então, a divergência fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume definido pelas coordenadas
,
, e
. A integral fica:
Em coordenadas cilíndricas, o volume elementar é
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Resposta
O fluxo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
(b)
(b)
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)
(a)
Calcule o fluxo total do vetor:
que sai através de um cilindro ôco, definido por
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(a)
(a)