Seja . Calcule:
(a)
na região definida por ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de fluxo da densidade de deslocamento elétrico através da superfície . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante a nossa vida nesse cálculo. Para isso, vamos precisar calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume definido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência desse campo sobre todo o volume limitado por . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . No sistema de coordenadas cilíndricas, a divergência de um campo é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos calcular cada termo da divergência:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Então, a divergência fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume definido pelas coordenadas , , e . A integral fica:
Em coordenadas cilíndricas, o volume elementar é . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, juntando tudo:

Resposta

O fluxo é igual a .

Exercícios relacionados

Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(b)
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)
Calcule o fluxo total do vetor:
que sai através de um cilindro ôco, definido por
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial :
(a)