Seja D=2 rho z^2 rho+rho cos ^2 phi k. Calcule:
(a) ointS D cdot d a
na região definida por 0 <= rho <= 5,-1 <= z <= 1, 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de fluxo da densidade de deslocamento elétrico D através da superfície S. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante a nossa vida nesse cálculo. Para isso, vamos precisar calcular a divergência de D e depois integrar isso sobre o volume definido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência desse campo sobre todo o volume V limitado por S. Ou seja:
ointS D cdot d a = integralV nabla cdot D , dV

Passo 3

Vamos calcular a divergência de D. No sistema de coordenadas cilíndricas, a divergência de um campo D = Drho rho + Dphi phi + Dz z é dada por:
nabla cdot D = 1rho partial (rho Drho)partial rho + 1rho partial Dphipartial phi + partial Dzpartial z
No nosso caso, D = 2 rho z^2 rho + rho cos^2 phi z, então:
  • Drho = 2 rho z^2
  • Dphi = 0
  • Dz = rho cos^2 phi

Passo 4

Vamos calcular cada termo da divergência:
  1. Primeiro termo:
1rho partial (rho Drho)partial rho = 1rho partial (rho cdot 2 rho z^2)partial rho = 1rho partial (2 rho^2 z^2)partial rho = 1rho cdot 4 rho z^2 = 4 z^2
  1. Segundo termo:
1rho partial Dphipartial phi = 1rho cdot 0 = 0
  1. Terceiro termo:
partial Dzpartial z = partial (rho cos^2 phi)partial z = 0
Então, a divergência fica:
nabla cdot D = 4 z^2

Passo 5

Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume definido pelas coordenadas 0 <= rho <= 5, -1 <= z <= 1, e 0 < phi < 2pi. A integral fica:
integralV 4 z^2 , dV
Em coordenadas cilíndricas, o volume elementar é dV = rho , drho , dphi , dz. Então, a integral fica:
4 integral-1^1 z^2 , dz integral0^5 rho , drho integral0^2pi dphi

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integral em z:
integral-1^1 z^2 , dz = [ z^33 ]-1^1 = 13 - (-13) = 23
  1. Integral em rho:
integral0^5 rho , drho = [ rho^22 ]0^5 = 252
  1. Integral em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 7

Agora, juntando tudo:
4 times 23 times 252 times 2pi = 4 times 23 times 12.5 times 2pi = 4 times 253 times pi = 1003 pi

Resposta

O fluxo ointS D cdot d a é igual a dfrac1003 pi.

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