Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o divergente e o rotacional de um campo vetorial específico. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de divergente e rotacional e aplicar as fórmulas correspondentes ao campo vetorial dado.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de como o campo está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial
, o divergente é calculado assim:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso campo vetorial
.
Primeiro, identificamos as componentes:
Calculando as derivadas parciais:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o rotacional (ou curl) de um campo vetorial. O rotacional nos indica a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de
é:
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial.
Primeiro, calculamos cada termo:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Resposta
O divergente do campo vetorial é:
E o rotacional do campo vetorial é:
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Seja
. Calcule
sobre uma região retangular dada por
.
encontre o volume de um cone, seccionado de um esfera de raio
, limitado pode
. Calcule o volume quando
e
.
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
(b)
(b)
Seja
. Calcule:
(a)
na região definida por ,
(a)
na região definida por