Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o divergente e o rotacional de um campo vetorial específico. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de divergente e rotacional e aplicar as fórmulas correspondentes ao campo vetorial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de como o campo está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial , o divergente é calculado assim:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso campo vetorial .
Primeiro, identificamos as componentes:
Calculando as derivadas parciais:
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o rotacional (ou curl) de um campo vetorial. O rotacional nos indica a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de é:

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial.
Primeiro, calculamos cada termo:
ãá
ãá
ãá
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

Resposta

O divergente do campo vetorial é:
E o rotacional do campo vetorial é:

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Seja . Calcule sobre uma região retangular dada por .
encontre o volume de um cone, seccionado de um esfera de raio , limitado pode . Calcule o volume quando e .
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(b)
Seja . Calcule:
(a)
na região definida por ,