Seja A=2 x y i+x z j-y k. Calcule integralnu A d v sobre uma região retangular dada por 0 <= x <= 2,0 <= y <= 2,0 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o campo vetorial A = 2xy,i + xz,j - y,k e precisamos calcular a integral de A sobre um volume retangular definido por 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2 e 0 <= z <= 2. Basicamente, vamos somar todas as contribuições do campo vetorial dentro dessa caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando queremos integrar um campo vetorial sobre um volume, na verdade estamos integrando cada componente do vetor separadamente. Ou seja, vamos calcular:
integralnu A , dV = ( integralnu 2xy , dV ) i + ( integralnu xz , dV ) j + ( integralnu (-y) , dV ) k

Passo 3

Vamos começar com a componente i:
integralnu 2xy , dV = 2 integral0^2 integral0^2 integral0^2 xy , dx , dy , dz
Integrando em relação a x:
integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 42 = 2
Então:
2 integral0^2 integral0^2 2y , dy , dz = 4 integral0^2 integral0^2 y , dy , dz
Integrando em relação a y:
integral0^2 y , dy = [ y^22 ]0^2 = 42 = 2
Agora:
4 integral0^2 2 , dz = 8 integral0^2 dz = 8 times 2 = 16
Então, a componente i é 16 i.

Passo 4

Agora, vamos para a componente j:
integralnu xz , dV = integral0^2 integral0^2 integral0^2 xz , dx , dy , dz
Integrando em relação a x:
integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 42 = 2
Então:
integral0^2 integral0^2 2z , dy , dz = 2 integral0^2 integral0^2 z , dy , dz
Integrando em relação a y:
integral0^2 dy = 2
Agora:
2 integral0^2 2z , dz = 4 integral0^2 z , dz = 4 [ z^22 ]0^2 = 4 times 2 = 8
Então, a componente j é 8 j.

Passo 5

Finalmente, vamos para a componente k:
integralnu (-y) , dV = - integral0^2 integral0^2 integral0^2 y , dx , dy , dz
Integrando em relação a x:
integral0^2 dx = 2
Então:
- integral0^2 integral0^2 2y , dy , dz = -2 integral0^2 integral0^2 y , dy , dz
Integrando em relação a y:
integral0^2 y , dy = [ y^22 ]0^2 = 42 = 2
Agora:
-2 integral0^2 2 , dz = -4 integral0^2 dz = -4 times 2 = -8
Então, a componente k é -8 k.

Resposta

A integral de A sobre o volume é:
integralnu A , dV = 16,i + 8,j - 8,k

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