Seja
. Calcule
sobre uma região retangular dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o campo vetorial
e precisamos calcular a integral de
sobre um volume retangular definido por
,
e
. Basicamente, vamos somar todas as contribuições do campo vetorial dentro dessa caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando queremos integrar um campo vetorial sobre um volume, na verdade estamos integrando cada componente do vetor separadamente. Ou seja, vamos calcular:
Passo 3
Vamos começar com a componente
:
Integrando em relação a
:
Então:
Integrando em relação a
:
Agora:
Então, a componente
é
.
Passo 4
Agora, vamos para a componente
:
Integrando em relação a
:
Então:
Integrando em relação a
:
Agora:
Então, a componente
é
.
Passo 5
Finalmente, vamos para a componente
:
Integrando em relação a
:
Então:
Integrando em relação a
:
Agora:
Então, a componente
é
.
Resposta
A integral de
sobre o volume é:
Exercícios relacionados
encontre o volume de um cone, seccionado de um esfera de raio
, limitado pode
. Calcule o volume quando
e
.
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(d) constante
(d)
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)
(a)
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
(b)
(b)