Seja . Calcule sobre uma região retangular dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o campo vetorial e precisamos calcular a integral de sobre um volume retangular definido por , e . Basicamente, vamos somar todas as contribuições do campo vetorial dentro dessa caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando queremos integrar um campo vetorial sobre um volume, na verdade estamos integrando cada componente do vetor separadamente. Ou seja, vamos calcular:

Passo 3

Vamos começar com a componente :
Integrando em relação a :
Então:
Integrando em relação a :
Agora:
Então, a componente é .

Passo 4

Agora, vamos para a componente :
Integrando em relação a :
Então:
Integrando em relação a :
Agora:
Então, a componente é .

Passo 5

Finalmente, vamos para a componente :
Integrando em relação a :
Então:
Integrando em relação a :
Agora:
Então, a componente é .

Resposta

A integral de sobre o volume é:

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encontre o volume de um cone, seccionado de um esfera de raio , limitado pode . Calcule o volume quando e .
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial :
(d) constante
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(a)
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(b)