Calcule o fluxo total do vetor:
que sai através de um cilindro ôco, definido por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo total do campo vetorial que sai através de um cilindro oco definido por e . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Vamos precisar usar a fórmula do fluxo e entender como aplicar coordenadas cilíndricas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “força” do campo passa por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, é mais fácil calcular o fluxo usando essas coordenadas. O cilindro oco tem duas superfícies curvas (externa e interna) e duas bases (superior e inferior). Vamos calcular o fluxo através de cada uma dessas partes e somar tudo no final.

Passo 4

Vamos começar calculando o fluxo através da superfície externa do cilindro, onde . O vetor normal nessa superfície é . Então, o fluxo é:
Substituindo :
Com :
O fluxo através da superfície externa é zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular o fluxo através da superfície interna do cilindro, onde . O vetor normal aqui também é , mas como é a superfície interna, o vetor normal aponta para dentro, ou seja, na direção negativa de . Então:
Substituindo :
O fluxo através da superfície interna também é zero.

Passo 6

Vamos agora calcular o fluxo através das bases superior e inferior. Primeiro, a base inferior onde . O vetor normal aqui é :
Substituindo :
Agora, a base superior onde . O vetor normal é :
Substituindo :
Calculando a integral:

Resposta

O fluxo total do vetor que sai através do cilindro oco é .

Exercícios relacionados

Seja . Calcule:
(a)
na região definida por ,
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine :
(b)
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial :
(a)
Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
(a)