Calcule o fluxo total do vetor:
que sai através de um cilindro ôco, definido por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo total do campo vetorial
que sai através de um cilindro oco definido por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Vamos precisar usar a fórmula do fluxo e entender como aplicar coordenadas cilíndricas nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “força” do campo passa por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Como estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, é mais fácil calcular o fluxo usando essas coordenadas. O cilindro oco tem duas superfícies curvas (externa e interna) e duas bases (superior e inferior). Vamos calcular o fluxo através de cada uma dessas partes e somar tudo no final.
Passo 4
Vamos começar calculando o fluxo através da superfície externa do cilindro, onde
. O vetor normal nessa superfície é
. Então, o fluxo é:
Substituindo
:
Com
:
O fluxo através da superfície externa é zero.
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo através da superfície interna do cilindro, onde
. O vetor normal aqui também é
, mas como é a superfície interna, o vetor normal aponta para dentro, ou seja, na direção negativa de
. Então:
Substituindo
:
O fluxo através da superfície interna também é zero.
Passo 6
Vamos agora calcular o fluxo através das bases superior e inferior. Primeiro, a base inferior onde
. O vetor normal aqui é
:
Substituindo
:
Agora, a base superior onde
. O vetor normal é
:
Substituindo
:
Calculando a integral:
Resposta
O fluxo total do vetor
que sai através do cilindro oco é
.
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Seja
. Calcule:
(a)
na região definida por ,
(a)
na região definida por
Para cada um dos seguintes campos escalares, determine
:
(b)
(b)
Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial
:
(a)
(a)
Utilize o volume diferencial
para determinar os volumes das seguintes regiões:
(a)
(a)